Distribucion De Weibull

Distribución de Weibull

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribucion de los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:[1]

donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

• Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.

• Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.

• Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo

Distribuciones relacionadas:

• La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura. Tiene función de densidad

• Para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde k > 0 es el parámetro de forma, λ > 0 es el parámetro de escala y θ, el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.

• La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

• Sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1. De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.

• La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.

• La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

Aplicaciones de la distribución de weibull:

Esta distribución la podemos observar en:

• Análisis de la supervivencia.

• Reliability engineering.

• En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes.

• Teoría de valores extremos.

• Meteorología.

• Para modelar la distribución de la velocidad del viento.

• En telecomunicaciones.

• En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida.

• En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas.

• Propiedades de la distribución weibull:

• Su función de distribución de probabilidad es:

•

• Para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

• La tasa de fallos (hazard) es

•

• La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es

•

• Donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

•

•

• En particular, el momento n-ésimo de X es:

•

• Su media y varianza son

•

• y

•

• Mientras que su asimetría y curtosis son

Y

Donde Γi = Γ(1 + i / k).

Ventajas de la distribución de weibull:

• Precisión razonable y precisa en el análisis de fallas

• Provee un simple y poderoso gráfico, medición de vida, arranques, paradas, operación, ciclos de misión vs. % acumulativo de fallas. Los parámetros β (Beta, a pendiente) proveen una filosofía de falla y η (ETA, característica de vida) tiempo de falla weibull análisis está relacionado con el MTTF.

Distribución de una falla en un grafico weibull:

• La pendiente de la gráfica weibull, β (beta) se define como:

• β < 1.0 indica mortalidad infantil

• β = 1.0 significa falla aleatoria

• β > 1.0 indica falla por desgaste

Se puede determinar los porcentajes de falla para determinar por ejemplo el 1% de las fallas de una población el cual pueda fallar, es llamada β1.

• β0.1 = 0.1% de la población

• β10 = determina el tiempo en el cual el 10% de la población puede fallar.

La característica η es definida como la edad al cual el 63.2% de las unidades podrían fallar, entonces se determina como β63.

Grafica de una distribución

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