UNIDAD I DISTRIBUCION MUESTRAL

UNIDAD I

DISTRIBUCION MUESTRAL

2.1. Variables aleatorias. 

Definición. Sea ε un experimento y Ω el espacio muestral asociado a este experimento. Una función X: Ω          ℜ tal que a cada elemento w ∈ Ω le asocia un número real            x = X(w), se denomina variable aleatoria.[pic 2]

El dominio de la variable aleatoria X es todo Ω y el rango es un subconjunto de ℜ que lo denotaremos por RX.

Esquemáticamente, tenemos la situación en la figura 1.1.

                                     Ω                                                                                           ℜ 

                                                                                    X[pic 3][pic 4]

                                                                                                                              [pic 5][pic 6]

                                                                                                                            [pic 7]

                                                                                                                                              x = X (w)

[pic 8]

Figura 1.1. Una variable aleatoria

Una variable aleatoria puede ser:

• Discreta, si el rango de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir, [pic 9].

• Continua, si el rango de X, RX , es un intervalo sobre la recta de los números reales.

Ejemplo 1.1.  Cuando un estudiante intenta conectarse a un sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos están ocupados (F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema.

En este caso tenemos que,  Ω = {S, F}.

Sea la variable aleatoria X: “El estudiante logra conectarse al sistema” 

Entonces X así definida  toma los siguientes valores:  X(F) = 0   X(S) = 1

Luego RX = {0, 1}.

Ejemplo 1.2. Un lote de artículos grande contiene artículos defectuosos D, y no defectuosos N. Se extrae sucesivamente artículos hasta lograr un artículo defectuoso y definimos X como el número de extracciones. Determinar el rango de la variable aleatoria X.

Solución.-

El espacio muestral es,   Ω = {D, ND, NND, NNND, NNNND, NNNNND, ....}

La variable aleatoria X : número de extracciones, toma los siguientes valores:

RX = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... }.

Ejemplo 1.3. Sea X una variable aleatoria que representa el tiempo de vida de un circuito integrado de televisión.. Esta variable aleatoria es continua, pues su rango (los valores que puede tomar) son los puntos del intervalo [0,  + ∞ ).

1.2. Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria.

1.2.1 Definición 1. La  función Probabilidad de una variable aleatoria discreta se define para todo número x mediante

[pic 10] 

En otras palabras, para todo valor posible x de la variable aleatoria, la función de probabilidad especifica la probabilidad de observar ese valor cuando se lleva a cabo el experimento.

Esta función de probabilidad llamada función de cuantía de la variable aleatoria X satisface las siguientes condiciones:

i) [pic 11]

ii) [pic 12]

El dominio de la función de probabilidad p(x) de una variable aleatoria discreta X es un subconjunto de ℜ y su rango es un subconjunto del intervalo [0, 1]. Esquemáticamente, tenemos (figura 3.2).

                                 Ω                                                               ℜ                                                               ℜ 

[pic 13][pic 14][pic 15]

                                                                   X                                                                      P

[pic 16][pic 17][pic 18]

                                                                                                                                                                    1[pic 19]

                                                                                                                                        [pic 20]

                                                                                                                                                               p(x I )  

                                                                                                                                                        0

Figura 3012.

Definición 2. Al conjunto de pares ordenados [pic 21], se denomina distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, y usualmente se representa en una tabla o en forma gráfica.

de la forma siguiente:

Ejemplo 1.4. Suponga que va  a una librería universitaria durante la primera semana de clases, y observa si la siguiente persona que compra una computadora adquiere una laptop o un modelo de escritorio. Sea 

[pic 22]

Si el 20% de las computadoras durante esa semana eligen una laptop, la función de probabilidad para X es:

p(0) = P[ X = 0 ] = P[el siguiente cliente compra un modelo de escritorio] = 0.8

p(1) = P[ X = 1 ] = P[el siguiente cliente compra una computadora laptop] = 0.2

Tabla 1: Distribución de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 3.1.

La figura 1.1 muestra la gráfica de la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X.

                                       p (x)[pic 23]

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