Distribuciones probabilidades discretas

Distribuciones probabilidades discretas

Si la variable aleatoria discreta puede asumir k valores diferentes con igual probabilidad, decimos que una distribución uniforme discreta, y su probabilidad está dada por

F(x) =                 para x = x1, x2,…, xk[pic 1]

Donde xi  xj  cuando i[pic 2][pic 3]

La media y la varianza para estas distribuciones son:

μ =             [pic 4][pic 5]

1. La distribución de Bernoulli

Si un experimento tiene dos resultados posibles, “éxito” y “fracaso”, y sus probabilidades son, respectivamente,  y 1-, entonces el número de éxitos, 0 y 1, tienen una distribución de Bernoulli: [pic 6][pic 7]

F(x; = (1-1-x            para x 0, 1[pic 8][pic 9][pic 10]

P(x=1) = (1-1-1 = p [pic 11][pic 12]

P(x=0) = (1-1-0 = 1-p [pic 13][pic 14]

E(x) = [pic 15]

E(x) = 0*0(1 - ) + [pic 16][pic 17][pic 18]

E(x) = 0(1 - ) + [pic 19][pic 20]

[pic 21]

 E(x2) – [E(x)]2[pic 22]

* = 02 * (1-1-0 + 12 *  = 02(1-1-0 + 12[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

 E(x2) – [E(x)]2[pic 30]

 [pic 31]

= [pic 32][pic 33]

1. Distribución Binomial

Una variable aleatoria x tiene una distribución binomial cuando se buscan “x éxitos en n ensayos” observe que la probabilidad de obtener x éxitos en n-x fracasos es . Existe un factor  por cada éxito, un factor 1- por cada fracaso, y los factores  y 1-  se multiplican todos entre sí en virtud de la suposición de independencia. [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Puesto que la probabilidad se aplica a cualquier serie de n ensayos en la cual hay x éxitos, se tienen que contar cuantas series hay de esta clase y entonces multiplicar por . Claramente el número de maneras que existen para obtener un x éxitos es . [pic 39][pic 40]

Por tanto la probabilidad de obtener “x éxitos en n ensayos” es:

b(x; n,) = ()     para x =1, 2, 3, …,n [pic 41][pic 42][pic 43]

B(x) = (x+1) k-esimo termino en la expansión ((1-+n. Esto demuestra que la suma de las probabilidades es uno. [pic 44][pic 45]

 = n = 1n =1[pic 46][pic 47]

[pic 48]

Para calcular el primer  momento E(x)

E(x) =  [pic 49]

 E(x) = (  [pic 50][pic 51]

E(x) = ([pic 52][pic 53]

Donde omitimos el termino correspondiente a x = 0, y cancelamos la x contra el primer factor x! = x(x-1)! En el denominador de . Entonces sacamos el factor , obtenemos [pic 54][pic 55]

μ = n ([pic 56][pic 57][pic 58]

Al hacer y = x-1 y m = n-1 obtenemos,

μ = n ( [pic 59][pic 60][pic 61]

μ = n[pic 62]

Dado que la última suma es  la suma de todos los valores de una distribución binomial con parámetros , y por tanto es igual a 1. [pic 63]

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