Distribuciones De Probabilidad Discretas

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS.

Bernoulli, Uniforme, Empírica

En este documento se tratan

1. Binomial

2. Hipergeométrica

3. Poisson

4. Aproximación de Poisson a la Binomial

5. Geométrica

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Las características de esta distribución son:

a) a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.

Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

A = águila, S = sello

1/2 A

1/2 A

1/2 S

A

1/2 A

1/2 1/2 S

S

1/2 A

1/2 A

1/2 1/2 S

S

1/2 A

1/2 S

1/2 S

d={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}

Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:

n = número de lanzamientos de moneda

x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2

p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2

q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2

Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;

P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama)

Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener;

Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,

donde n = x1+x2+...+xk

sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;

esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará en el caso de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de fórmula?, simplemente porque en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es la siguiente,

y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.

¿Y la probabilidad asociada a cada rama?

Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p2q=

=

Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:

donde:

p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de éxito es p

Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:

n = 3, x = 2, p = ½

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor esperado.

Donde:

n = número de ensayos o repeticiones del experimento

P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la media

Q = complemento de P

Desviación estándar.

Ejemplos:

1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

Solución:

a) n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

b)

c) En este caso cambiaremos el valor de p;

n =5

x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos

p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25

q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

2. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

Solución:

a) n =12

x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa

x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa

p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40

q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

= 0.21284

b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-[p(x=0,1,2)]=

= 1-[0.002176+0.0174096+0.06385632]= 1- 0.08344192= 0.91656

c)

= 0.22703

3. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

Solución:

a)n =10

x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB

x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB

p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15

q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

= 0.00849

b)p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =

= 1 – [(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)]=1-0.544296 = 0.455705

c) n=10

x= variable que nos define

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