DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

UNIDAD 1

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Frecuentemente las observaciones que se generan en experimentos estadísticos tienen algunos tipos generales de comportamiento, por eso sus variables se pueden describir esencialmente con unas pocas distribuciones, las cuales pueden representarse mediante una ecuación.

Frente a la complejidad de los fenómenos bajo estudio, el experimentador aproxima y hace algunos postulados tentativos acerca del mecanismo aleatorio y deriva un modelo por el empleo de esos postulados en combinación con las leyes de probabilidad.

Un modelo de probabilidad para la variable aleatoria X es una forma específica de distribución de probabilidades que es asumida para reflejar el comportamiento de X. Las probabilidades son registradas en términos de parámetros desconocidos que relacionan las características de la población y el método de muestreo.

“EL MODELO DEBE SER COHERENTE CON LA REALIDAD”

En esta unidad se examinarán detalladamente algunas distribuciones específicas de probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. Pero dichas distribuciones son teóricas porque sus funciones de probabilidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen válidas para esos fenómenos aleatorios.

Dichas distribuciones son idealizaciones del mundo real, por lo tanto sus resultados no siempre coinciden con la realidad.

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Dicho de otra forma, una variable aleatoria es una función valorada numéricamente, cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, según su rango de valores.

Una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es contable; generalmente puede asumir únicamente valores enteros. Cada uno de sus valores tiene cierta probabilidad.

La descripción del conjunto de posibles valores de X y la probabilidad asociada a cada uno se denomina distribución de probabilidad. Si la variable puede tomar un número pequeño de valores, la forma más simple consiste en construir una tabla que contenga los posibles valores y sus respectivas probabilidades; si no son pocos, lo más adecuado es expresar dicha probabilidad como una ecuación.

EJEMPLO 1.1.

Se lanza una moneda 3 veces. Construir la distribución de probabilidad de X, si éste es el número de caras.

Solución:

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Siempre que se evalúen variables aleatorias, se cumple que:

1. f(x) ≥ 0

2.

3. p(X=x) = f(x)

EJEMPLO 1.2.

Un embarque de 8 microcomputadores similares que se envía a un distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estos computadores, encuentre la distribución de probabilidades para el número de computadores defectuosos

Solución:

p(X=0) = 5/8 * 4/7 = 10/28

p(X=1) = 5/8 * 3/7 * 2 = 15/28

p(X=2) = 3/28

Por lo tanto, la distribución de probabilidades puede expresarse así:

x 0 1 2

f(x) 10/28 15/28 3/28

Dicha distribución puede representarse mediante un diagrama de barras, teniendo en cuenta que se trata de una variable discreta.

EJEMPLO 1.3.

Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Cierto estudiante trata de adivinar las respuestas; haga una distribución de frecuencias para el número de respuestas correctas.

Solución:

Además, puede hablarse de una distribución acumulada de dicha variable; ésta se denota como F(X), indica la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico y está dada por:

F(X) = p(X≤x) = p(X)

EJEMPLO 1.4.

La producción diaria de 850 partes manufacturadas contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Del lote se escogen dos partes al azar; si X es el número de partes que no cumplen los requerimientos del cliente, hallar F(X=1).

Solución:

F(1) = P(X=0) + P(X=1)

= 800/850*799/849 + 800/850*50/849*2

= 0.997

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

1. Distribución Uniforme Discreta: Es la más simple. Se aplica a un experimento que puede ocurrir de n formas mutuamente excluyentes y cada una de esas formas tiene la misma probabilidad de las otras; por tanto, cada probabilidad es 1/n.

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EJEMPLO 1.5.

Se diseña un generador de números seudoaleatorios. ¿Cuántos cincos se esperaría obtener si se generan 10000 números?

Solución:

P(X = 5) = 1/10

Por lo tanto, el número esperado de cincos es 10000*1/10 = 1000

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2. Ensayos Bernoulli: Consideraremos repeticiones sucesivas de un experimento u observación en la cual cada repetición es llamada un ensayo. Además, asumimos que hay sólo 2 entradas posibles para cada ensayo individual (éxito-fracaso); el uso de esos términos es por conveniencia, pero no tienen la misma connotación de la vida real (éxito es lo que interesa, no necesariamente lo que convenga); por ejemplo, en un accidente el número de muertos puede ser considerado un éxito.

La naturaleza de los resultados de un experimento proporciona un punto de partida conveniente para desarrollar modelos de probabilidad de variables aleatorias que son definidas en términos de repeticiones de ensayos; dichos ensayos son realizados bajo una serie de condiciones que llamaremos postulados (son aproximados y proporcionan modelos simples y útiles). Los ensayos que obedecen esos postulados son llamados ensayos de Bernoulli.

Ejemplo clásico: Lanzamiento de una moneda.

Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que tomamos elementos al azar con reemplazo o a poblaciones conceptualmente infinitas (como las piezas que producirá una máquina), siempre que el proceso generador sea estable.

Llamemos

Población

A: Característica de interés. B: Característica de no interés.

Si se extrae un elemento al azar y ese elemento posee la característica de interés se dice que se obtuvo un éxito; en caso contrario, se dice que se obtuvo un fracaso.

Siempre p + q = 1

Sea x el número de elementos que poseen la característica de interés; x = 0,1

x 0 1

f(x) q p

Entonces:

3. Distribución binomial:

Cuando un número fijo n de ensayos repetidos de Bernoulli es realizado con probabilidad de éxito p en cada ensayo, es decir, la probabilidad de un éxito permanece constante.

Además, debe cumplirse que los ensayos sean independientes.

Por ejemplo, supóngase que se resuelve al azar un examen de escogencia múltiple y se quiere encontrar la probabilidad de ganarlo.

La función de probabilidad binomial puede escribirse como:

,

A continuación se muestra la representación gráfica de una distribución binomial con valores de n y p determinados:

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EJEMPLO 1.6.

Se sabe que los discos producidos en una empresa salen defectuosos con probabilidad, independientemente unos de otros, de 0.01. La compañía vende los discos en paquetes de 10 y garantiza el reembolso del dinero si más de uno de 10 discos sale defectuoso. ¿Cuál es la proporción de paquetes que se devuelven?

Si alguien compra 3 paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva por lo menos uno de ellos?

Solución:

P(X>1) = 1 – P(X=0) - P(X=1)

Lo cual implica que el 0.4% de los paquetes podrán ser devueltos.

De lo anterior se deduce que el número de paquetes que puede devolver la persona constituye una variable aleatoria binomial con n = 3 y p = 0.0043.

Por lo tanto, la probabilidad de que devuelva por lo menos uno de los paquetes es:

P(X1) = 1 – P(X=0)

= 1 – 0.9963 = 0.012

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Media y varianza de la distribución binomial: Media = np Varianza = npq

Para justificar estas fórmulas, consideremos el caso en que n=1. Recordemos que en un ensayo de Bernoulli, la media es p y la varianza es pq:

Para el caso de n ensayos de Bernoulli:

E(X) = E(X1)+.........+E(Xn) = p+p+......+p = np

Lo mismo se aplicaría para varianza

Otra forma: Partir de E(X) = Σxf(x) y utilizar la función de probabilidad

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