DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS

“UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS”

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES

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TAREA GRUPAL 1:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS

DOCENTE:

TIPE TORVISCO, RICHARD

SECCIÓN:

2021

BINOMIAL

1.- El jefe de recursos humanos de una empresa realiza un test de diez ítems a los aspirantes a un puesto, teniendo en cada ítem cuatro posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Suponiendo que los aspirantes teniendo la misma probabilidad de responder. Se pide hallar las probabilidades para el aspirante:

DATOS:

• n :  número total de ítems → n = 10
• Variable Aleatoria X: Número de ítems correctos → x = 0; 1; 2; 3; …; 10
• p : probabilidad de éxito → p = 1/4 = 0.25
• q : probabilidad de fracaso → q = 1 – p = 1 – 0.25 → q = 0.75
• Entonces la función de probabilidad binomial para nuestra variable aleatoria será:

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a) Conteste todos los ítems mal

SOLUCIÓN:

• Sabemos que: n = 10; p = 0.25; q = 0.75. Nos piden hallar la probabilidad para el caso en el cual todos los ítems estén mal, ello dicta que nuestra variable aleatoria que representa al número de ítems correctos, x, es igual a 0. Entonces la función de probabilidad para x = 0:

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• Corroboración de resultados:[pic 6]

• Interpretación: La probabilidad de que el aspirante a un puesto de trabajo conteste mal todos los ítems del test realizado por el jefe de recursos humanos de una empresa es equivalente ES 0.0563

b) Conteste al menos cuatro ítems bien

SOLUCIÓN:

• Sabemos que: n = 10; p = 0.25; q = 0.75. Nos piden para los valores 4; 5; …; 10, es decir, para 4 ≤ x  ≤ 10, entonces la función de probabilidad:

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• Corroboración de resultados:[pic 9]

• Interpretación: La probabilidad de que el aspirante a un puesto de trabajo conteste menos de cuatro ítems bien del test realizado por el jefe de recursos humanos de una empresa es de 0.2241

c) Conteste entre cuatro y seis ítems bien

    SOLUCIÓN:

• Sabemos que: n = 10; p = 0.25; q = 0.75. Nos piden el caso en que se conteste entre 4 y 6 ítems bien, este caso ocupa los valores 4; 5; 6, es decir, para 4 ≤ x  ≤ 6, entonces la función de probabilidad:

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• Corroboración de resultados:[pic 15]

• Interpretación: La probabilidad de que el aspirante a un puesto de trabajo conteste entre cuatro a seis ítems bien del test realizado por el jefe de recursos humanos de una empresa es de 0.2206

• El porcentaje de aspirantes a un puesto de trabajo conteste entre cuatro a seis ítems bien del test realizado por el jefe de recursos humanos de una empresa es de 22.06%

d) Conteste todos los ítems bien

SOLUCIÓN:

• Sabemos que: n = 10; p = 0.25; q = 0.75. Nos piden hallar la probabilidad en el caso que se contesten todos los ítems bien para x = 10, entonces la función de probabilidad:

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• Corroboración de resultados:[pic 19]
• Interpretación: La probabilidad de que el aspirante a un puesto de trabajo en una empresa conteste  todos los ítems bien del test realizado por el jefe de recursos humanos TIENDE A CERO O ES APROXIMADAMENTE CERO.

e) Conteste menos de tres ítems bien

SOLUCIÓN:

• Sabemos que: n = 10; p = 0.25; q = 0.75. Nos piden el caso en que se conteste menos de 3 ítems bien, este caso ocupa los valores 0; 1; 2, es decir, para x  < 3, entonces la función de probabilidad:

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• Corroboración de resultados:[pic 25]

• Interpretación: La probabilidad de que el aspirante a un puesto de trabajo en una empresa conteste menos de tres ítems bien del test realizado por el jefe de recursos humanos es de 52.56%.

2.- Cuando un cliente hace un pedido a la Papelería en Línea de Rudy, un sistema contable computarizado (AIS, por sus siglas en inglés) verifica automáticamente si el cliente ha excedido o no su límite de crédito. Los registros señalan que la probabilidad de que los clientes exceden su límite de crédito es de 0.05. Suponga que, durante un día determinado, 20 clientes hicieron un pedido. Suponga también que el número de clientes que según el sistema AIS excedieron su límite de crédito está distribuido como variable aleatoria binomial.  

DATOS:

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a. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que excedieron su límite de crédito?

SOLUCIÓN:

• Media:

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Interpretación: LA CANTIDAD PROMEDIO DE CLIENTES QUE EXCEDEN SU LIMITE DE CREDITO es 1

Desviación Estándar:

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Interpretación: En la Papelería en línea de Rudy, la dispersión de nuestra variable aleatoria es de 0.9746

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite de crédito?

SOLUCIÓN:

• Sabemos que n = 20, p = 0.05, q = 0.95; por lo tanto, la función de probabilidad para el caso en que ningún cliente exceda su límite de crédito es:

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• Corroboración de resultado:[pic 41]

• Interpretación: La probabilidad de que ningún cliente, de la Papelería en línea de Rudy, exceda su límite de crédito es de 0.3585

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo un cliente exceda su límite de crédito?

 SOLUCIÓN:

• Sabemos que n = 20, p = 0.05, q = 0.95; por lo tanto, la función de probabilidad para el caso en que solo un cliente exceda su límite de crédito es:

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• Corroboración de resultado:[pic 47]

• Interpretación: La probabilidad de que solo un cliente, de la Papelería en línea de Rudy, exceda su límite de crédito es de 0.3774

d. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su límite de crédito?

SOLUCIÓN:

• Sabemos que n = 20, p = 0.05, q = 0.95; por lo tanto, la función de probabilidad para el caso en que dos o más clientes excedan su límite de crédito es:

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• Corroboración de resultado:[pic 52]

• Interpretación: La probabilidad de que 2 o más clientes, de la Papelería en línea de Rudy, excedan su límite de crédito es de 0.2642

POISSON

3. El gerente de control de calidad de Marilyn’s Cookies inspecciona un lote de galletas con chispas de chocolate que se acaban de preparar. Si el proceso de producción está bajo control, la media de chispas de chocolate por galleta es de 6.0. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada…

a. se encuentren menos de cinco chispas?

SOLUCIÓN:

X: CANTIDAD DE CHISPAS DE CHOCOLATE QUE CONTIENE UNA GALLETA        X: 0,1,2,3,,,,

• x : 4 o menos son las chispas que piden, por lo que se hará la sumatoria de cuando x sea 4,3,2,1 y 0
• λ : 6
• Entonces la función de probabilidad de Poisson para nuestra variable aleatoria será:

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• Una vez ya determinadas las 5 probabilidades, se procederá a sumarlas para hallar la probabilidad de encontrar menos de cinco chispas:

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• Interpretación: La probabilidad de que el gerente de control de calidad al momento de inspeccionar encuentre menos de cinco chispas es de  0.285038

b. se encuentren exactamente cinco chispas?

SOLUCIÓN:

• x : Pide que se encuentre exactamente cinco chispas por lo que, x=5
• λ : 6
• Entonces la función de probabilidad de Poisson para nuestra variable aleatoria será:
• Usaremos la fórmula para encontrar la probabilidad de obtener 5 chispas

 
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• Interpretación: La probabilidad de que el gerente de control de calidad al momento de inspeccionar encuentre exactamente 5 chispas es de 0.1606 

c. se encuentren cinco o más chispas?

SOLUCIÓN:

• x : Pide que encontremos 5 a más chispas, por lo que tendremos que encontrar la probabilidad de encontrar las de 4 a menos chispas para ser restadas.
• λ : 6
• Entonces la función de probabilidad de Poisson para nuestra variable aleatoria será:

 
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• Ahora sumaremos las probabilidades de que salgan 4; 3; 2; 1 y 0 chispas para sacar la cantidad de 5 a más chispas:

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• Interpretación: La probabilidad de que el gerente de control de calidad al momento de inspeccionar encuentre cinco o más chispas es de 0.71497

d. se encuentren cuatro o cinco chispas?

SOLUCIÓN:

• x : Pide encontrar cuatro o cinco chispas, por lo que usaremos 2 veces la ecuación cuando x valga 4 y 5.
• λ : 6

• Primero la función de probabilidad para determinar cuatro chispas será:

 
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• Ahora la función de probabilidad para para determinar 5 chispas será:[pic 74]

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• Ahora sumamos ambos resultados de las fórmulas para obtener la probabilidad de tener de 4 a 5 chispas

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• Interpretación: La probabilidad de que el gerente de control de calidad al momento de inspeccionar encuentre cuatro o cinco chispas es de  0.29447

4. Una compañía aérea observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de fallos es ocho. Se pide:

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