Distribuciones de probabilidades discretas

República Bolivariana de Venezuela

Universidad Bicentenario de Aragua

Facultad de Ciencias Administrativas y Sociales

Escuela de Psicología

Convenio UBA-IUTEMBI Valera

[pic 1]

Distribuciones de probabilidades discretas

Autor (a): Rosario González

Alejandro Antonio.

C.I: 26.413.186

Tutor (a): Edgar Enrique Matos Montero.

Valera – Estado Trujillo, noviembre, 2021

Introducción

La estadística tiene como uno de sus objetivos el conocimiento cuantitativo de un determinado espacio de la realidad. Para ello, es preciso construir un modelo de esta realidad objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más ininteligible y multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a funciones de probabilidad. La teoría de la probabilidad tiene su origen en el estudio de los juegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre cálculo de probabilidades en el siglo XVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la probabilidad desde una perspectiva matemática con la demostración de la “ley débil de los grandes números” según la cual, al aumentar el número de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un número fijo denominado probabilidad.

Cuando se plantea estudiar estas distribuciones de probabilidad, se hace partiendo de la base que su estudio permitirá simplificar el tratamiento estadístico de muchos fenómenos reales. De esta manera, al encontrarse con un fenómeno real tal, este tendrá dos posibles valores, Bien, se verá que este tipo de fenómeno se puede estudiar como una variable o distribución de Bernuille. Al estudiar esta variable tendremos perfectamente identificados tanto la media como la varianza como su función de cuantía, etc... Es decir, se conocerá el comportamiento probabilístico de este fenómeno.

El objetivo de este ensayo es conocer el estudio de las distribuciones de probabilidad, así como la distribución de variables aleatorias discretas más utilizadas, concretamente las siguientes: Distribución Uniforme, distribución Binomial y distribución de Poisson.

Distribución de probabilidades

Una distribución de probabilidad es aquella que permite establecer toda la gama de resultados probables de ocurrir en un experimento determinado. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro. Esta es una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que con ella es posible diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos.

Las características más importantes a considerar en una distribución de probabilidad son: a) La probabilidad de un resultado específico está entre cero y uno. b) La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1.

Toda distribución de probabilidad se genera por una variable (debido a que puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor que se toma es completamente al azar), y puede ser de dos tipos:

1. Variable aleatoria discreta (x): Solo puede tomar valores representados por números enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo: X variable que nos define el número de alumnos aprobados en el curso de historia universal en un grupo de 30 alumnos (1, 2 ,3 y así sucesivamente ó los 30).

2.- Variable aleatoria continua (x): Esta puede tomar tanto valores expresados en números enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo: x es la variable que nos define la concentración en gramos de oro de algunas muestras de mineral (7.4 gr, 6.1, 1.9, 23.3, 12.7, 8.1, 9.5, 11.8, ... n).

Distribución uniforme discreta

Una variable aleatoria discreta (X) tiene distribución uniforme cuando la probabilidad en todos los puntos de masa probabilística es la misma; o sea, cuando todos los posibles valores que puede adoptar la variable (x1, x2,...,xk) tienen la misma probabilidad. Se toma como ejemplo el caso del lanzamiento de un dado. Si se define una variable aleatoria (X) como el número resultante tras su lanzamiento, los valores que puede tomar esa variable aleatoria son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ahora bien, esa variable aleatoria tiene distribución uniforme si, como es el caso, la probabilidad es la misma para cada uno de los resultados posibles.

La función de distribución mide la probabilidad de que la variable adopte valores iguales o inferiores a uno dado. Por tanto, F(x) = P (X £ xi) (i= 1, 2, 3,…,k.) En su expresión analítica, la función de distribución vendrá dada como:

[pic 2]

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior, se obtiene que: Para resultados teóricos inferiores al valor 1, la función de cuantía, y la de distribución valen 0; para resultados iguales a 1 la función de cuantía y la de distribución valen 1/6; cuando el resultado es 2, la función de cuantía vale 1/6, pero la de distribución, que es la probabilidad de que la variable adopte resultados iguales o inferiores a 2, vale 2/6, etc.... Generalizando este razonamiento se obtiene  la expresión de la función de distribución, que será:

[pic 3]

La distribución binomial

         Es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones bioestadísticas. Fue obtenida por Jakob Bernoulli (1654-1705) y publicada en su obra póstuma Ars Conjectandi en 1713. Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”; este experimento recibe el nombre de experimento de Bernoulli. Ejemplos de respuesta binaria pueden ser el hábito de fumar (sí/no). La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribución binomial de parámetros n y p, que se denota por (Bi(n,p)).

...