Distribuciones de Probabilidad Discretas

Arq. Ramiro González Horta. Abril 2011

U N I D A D 3

Distribuciones de Probabilidad Discretas.

3.1. Definición de variable aleatoria discreta.

3.2. Función de probabilidad y de distribución, valor esperado, varianza y desviación estándar.

3.3. Distribución Binomial.

3.4. Distribución Hipergeométrica

3.4.1 Aproximación de la Hipergeométrica por la Binomial.

3.5. Distribución Geométrica.

3.6. Distribución Multinomial.

3.7. Distribución de Poisson.

3.8. Aproximación de la Binomial por la de Poisson.

3.9. Distribución Binomial Negativa

3.10 Distribución Uniforme (Discreta)

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Distribuciones de Probabilidad Discretas.

3.8. Aproximación de la Binomial por la de Poisson.

APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL.

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y p®0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:

Donde:

l =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos

n = número de repeticiones del experimento

p = probabilidad de éxito = p(éxito)

Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n³20 y p£0.05: sí n³100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np£10.

Ejemplos:

1. 1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

Solución:

a) n = 100

p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)

q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

b)n = 100 encuadernaciones

p = 0.05

l = np = (100)(0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.

2.Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.

Solución:

a) n = 3840 generadores

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