Distribuciones Discretas De Probabilidad

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Las características que debe cumplir una distribución de probabilidad para considerarse binomial, son:

• El resultado de cada ensayo dentro del experimento se clasifica en dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso.

• La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos.

• La probabilidad de éxito permanece igual para todos los ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de fracaso.

• Los ensayos son independientes. La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro.

La expresión matemática de este tipo de distribución es la siguiente:

Donde:

C = denota una combinación

n = es el número de ensayos

x = es el número de éxitos

p = es la probabilidad de cada ensayo

Un ejemplo en el que se usa la distribución binomial es el siguiente:

Cada día Aeroméxico tiene 5 vuelos México – Colima. Supón que para cada vuelo, la probabilidad de que este se retrase es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 vuelo se retrase?

a) La probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase es de 0.3277 ó 33%

P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x

P ( 0 ) = 5C0 (0.20)0 (1 – 0.20) 5 – 0

P ( 0 ) = (1) (1) (0.3277)

P ( 0 ) = 0.3277

b) La probabilidad de que exactamente un vuelo se retrase es de 0.4096 ó 41%

P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x

P ( 1 ) = 5C1 (0.20)1 (1 – 0.20) 5 – 1

P ( 1 ) = (5) (0.20) (0.4096)

P ( 1 ) = 0.4096

La distribución binomial completa para n=5, p=0.20 es la siguiente:

Número de vuelos

Con retraso (n) Probabilidad (x)

0 0.3277

1 0.4096

2 0.2048

3 0.0512

4 0.0064

5 0.0003

Total 1

La representación gráfica de esta distribución de probabilidad sería la siguiente:

 TABLAS DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Una distribución de probabilidad binomial es una distribución teórica, que se puede calcular mediante el uso de una fórmula. Sin embargo, los cálculos pueden ser muy tediosos. Por tal motivo existen tablas en las que se pueden consultar las probabilidades de un determinado número de éxitos para varios valores de n y de p.

 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Se utiliza cuando las probabilidades de éxito (p) son menores a 0.05 y cuando (n) es muy grande (p.e. mayor a 100).

Por lo demás tiene casi las mismas características que una distribución binomial simple. Se le conoce también como ley de los eventos improbables.

Donde:

μ = Número promedio de éxitos durante un intervalo específico

e = Constante 2.71828 (Base del sistema de logaritmos naturales)

x = Número de éxitos

Una diferencia entre una distribución binomial simple y la de Poisson es que, a diferencia de la binomial (dónde debe existir un número fijo de ensayos), para la distribución de Poisson X puede asumir un número infinito de valores.

Un ejemplo donde se usa la distribución de Poisson es el siguiente:

Una empresa que se dedica a crear alimentos transgénicos experimenta problemas con una plaga llamada gusano del maíz. El examen de 5000 mazorcas seleccionadas al azar reveló que se encontraron en total 3500 gusanos.

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