EL ICOSAEDRO Y SU POLIEDRO DUAL
Enviado por layndesign • 26 de Agosto de 2014 • 1.016 Palabras (5 Páginas) • 631 Visitas
EL ICOSAEDRO Y SU POLIEDRO DUAL
Un icosaedro es un poliedro de 20 caras, cuando estas son triángulos equiláteros, es un icosaedro convexo y se denomina regular y se le conoce como uno de los sólidos platónicos.
El icosaedro es único entre los sólidos platónicos en poseer un ángulo diedro de 138º 11’, mayor de 120º,
Un icosaedro puede ser considerado como una bipirámide pentagonal giroenlongada; y descomponerse en una pirámide pentagonal giroenlongada y una pirámide pentagonal.
Los vértices de un icosaedro forman grupos de 3 rectángulos áureos ortogonales entre sí.
SIMETRÍA DEL ICOSAEDRO
Un icosaedro regular tiene:
• 6 ejes de simetría de orden 5 (las rectas que unen los vértice opuestos)
• 15 ejes de simetría de orden 2 (las rectas que unen los centros de aristas opuestas)
• 15 planos simetría (contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares)
• 10 ejes de simetría de orden 3 (las rectas que unen los baricentros de cada par de caras opuestas)
Orden de simetría total de 120 { 2x(6x5 + 15x2) }
Dimensiones fundamentales del Icosaedro:
Radio interno para la esfera inscrita: ri =
a es la arista del icosaedro
Radio externo para esfera circunscrita: rc =
Secciones fundamentales del Icosaedro:
POLIEDRO DUAL: es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. Los vértices del dual son los recíprocos de los planos de la cara del del original y las caras del dual yacen en las reciprocas de los vértices del original.
RELACIÓN AUREA
La sección aurea es la división de dos segmentos según proporciones dadas por el número áureo :
=
El número áureo es un número algebraico irracional que relaciona la proporción entre segmentos de recta. Esta proporción se encuentra en la naturaleza como en las hojas de algunos árboles, el cuerpo humano, flores, etc.:
Se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón aurea, así como una importancia mística y se le atribuye una gran importancia en diversas obras de arte, arquitectura y otros artes.
El numero áureo en la geometría
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.
El rectángulo áureo de Euclides:
El teorema de Ptolomeo y el pentágono:
Relación con los sólidos platónicos
El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.
CONSTRUCCIÓN DEL ICOSAEDRO REGULAR
Tres rectángulos áureos iguales que se intersecan en ángulos de 90º definen un icosaedro, donde
...