Poliedros

De cómo la geometría entrelaza ciencia y arte: Historia de un poliedro

El estudio de los poliedros es una de las áreas más versátiles de las Matemáticas, en lo que respecta tanto a sus aplicaciones como a las posibilidades que ofrece a expertos y a amateurs para trabajar en estos temas. Los poliedros más comunes son conocidos por gran parte de la sociedad; sin embargo, son muchos los que desconocen algunas de sus propiedades. En este trabajo intentaremos, además de destacar algunas de estas propiedades, poner de manifiesto cómo el arte y la ciencia han motivado el estudio matemático de los poliedros y cómo esos mismos estudios han supuesto un desarrollo artístico y científico posterior. Es por ello que hemos organizado este trabajo en tres secciones. En primer lugar recogemos algunos aspectos generales sobre poliedros. En la segunda sección intentaremos mostrar la interacción entre poliedros y arte. Finalmente, en la última parte del trabajo, destacaremos algunas situaciones relacionadas con diversas ramas de la Ciencia como la Física, la Aeronaútica o la Biología, en las que aparecen ciertas estructuras poliedrales .

Poliedros

Hemos mencionado al comienzo de este trabajo el término Poliedro sin precisar intencionadamente su definición, ya que este vocablo tiene varias acepciones. Depende del contexto en el que estemos trabajando. Para nuestros propósitos un poliedro será una forma 3-dimensional acotada por polígonos (región del plano limitada por segmentos).

Una clase especial de poliedros son los poliedros convexos. Algebraicamente, un poliedro convexo es el conjunto de soluciones del sistema MX≤B, donde M es una sx3-matriz real y B es un s-vector. Geométricamente, un poliedro convexo es aquél en el que el segmento que une dos puntos del mismo está contenido en el poliedro o en su interior. En un poliedro convexo, el número de vértices V , el de caras F y el de aristas E están relacionados por la fórmula de Euler V+F-E=2.

La figura vértice de un vértice de un polígono es el segmento que une la mitad de los dos lados adyacentes tal y como se indica en Fig. 1.

Fig. 1: Figura vértice de diferentes polígono

De igual forma, en un poliedro la figura vértice de uno de sus vértices es el polígono cuyos lados son las figuras vértice de las caras adyacentes a dicho vértice (ver Fig. 2).

Fig. 2: Figura vértice de un poliedro

Con la premisa de que todas las caras son polígonos regulares (polígonos con lados y figuras vértices de igual longitud) y barajando las propiedades “caras iguales”, “figuras vértice iguales” y ”convexidad”, tenemos las siguientes clases de poliedros, algunos de los cuales consideraremos a lo largo de este trabajo.

¿Idénticas caras? ¿Idénticas figuras vértice? ¿Convexidad? Número Clase

Sí Sí Sí 5 Sólidos Platónicos

No Sí Sí 13 Sólidos Arquimedianos

infinitos Prismas & Antiprismas

Sí Sí No 4 Poliedros de Kepler-Poinsot

Sí No Sí 8 Deltahedros

No Sí No 53 Poliedros Uniformes No-convexos

infinitos Prismas & Antiprismas No-convexos

No No Sí 92 Sólidos de Johnson

Etimológicamente la palabra poliedro (s) deriva de los términos griegos s(mucho) y  (plano).

Los vestigios encontrados en algunas zonas de Escocia nos hace pensar que ya algunos pueblos neolíticos conocían la existencia de ciertos poliedros. Estos restos, actualmente localizados en el Ashmolen Museum de Oxford, son piedras esculpidas que recuerdan a algunos poliedros (cubo, icosaedro, dodecaedro..) y que se sospecha pudieron ser usados como dados, elementos de juego o decorativos (ver Fig.3).

Fig. 3: Restos neolíticos (2000 a.C.)

Algunas civilizaciones como la egipcia y la babilónica tenían conocimiento más explícitos de algunos de estos poliedros (cubo, tetraedro, octaedro, pirámide, ....). Una evidencia de ello la encontramos en las famosas pirámides egipcias, santuarios de eternidad de los faraones, en donde ya comienza a ponerse de manifiesto la conexión entre los poliedros y ciertos aspectos religiosos y místicos.

Estos conocimientos pudieron haberse propagado desde Egipto y Babilonia a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras. Se sospecha que el interés de Pitágoras por los poliedros regulares viene de la observación de estas formas geométricas en los minerales, ya que su padre era grabador de piedras preciosas.

Los Pitagóricos estaban fascinados por los poliedros conocidos, pero sobre todo, por el dodecaedro y por su relación con el cosmos. Relata Jámblico cómo la divinidad elimina al delator de uno de sus grandes secretos: ”la divinidad se disgustó con el que divulgó las doctrinas de Pitágoras, de tal forma que pereció en el mar, por el sacrilegio cometido, el que reveló como se inscribía en una esfera la constitución del dodecaedro”.

La razón de esta fascinación se debe a su relación con el pentagrama místico (pentalfa) o estrella de 5 puntas (ver Fig.4), emblema de la salud y símbolo de identificación de los Pitagóricos. Esta estrella se obtiene al trazar en un pen-

Fig. 4: Pentalfa

tágono regular las diagonales o prolongar sus lados. Una de las bellas propiedades que tiene el pentagrama es que los cortes entre las diagonales determinan segmentos que están en proporción áurea (divina proporción), siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono. Recordamos que un punto C entre el segmento AB determina la sección áurea si AC/BC = BC/AB. La sección áurea, en forma de rectángulo áureo (los lados del rectángulo están en proporción áurea), aparece en muchas obras arquitectónicas emblemáticas a lo largo de la historia: el Partenón, la gran muralla China, el castillo de Windsor, la Plaza de la Concordia en París,...

El pentagrama ya era conocido en Egipto. En el templo de Kurna (1700 a.C.) fue encontrado un tablero con este símbolo en el que se practicaba un juego (pentalfa), que todavía subsiste en algunos lugares de Creta.

Aunque Proclo atribuye a Pitágoras la construcción de las figuras “cósmicas” que relacionan los 4 elementos primarios (fuego, tierra, aire y agua) con el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, respectivamente, parece que esto es poco probable, ya que Empédocles de Agrigento fue el primero que distinguió los cuatro elementos primarios. Al parecer los Pitagóricos sólo conocían el tetraedro, el cubo y el dodecaedro. El icosaedro y el octaedro se atribuyen a un amigo de Platón, Teeteto, a quien se debe el estudio sistemático de los cinco poliedros regulares. Los poliedros regulares (el tetraedro, el cubo, el icosaedro, el octaedro y el dodecaedro) se llaman sólidos Platónicos por el papel que tiene en el diálogo de Platón (Timeo) en donde se pone de manifiesto la relación entre los cuatro primeros sólidos Platónicos y los 4 elementos primarios. Del quinto poliedro regular, el dodecaedro, dice: “Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final” Para Platón la belleza de los poliedros regulares no reside en su apariencia física, sino en el ámbito del pensamiento matemático: “cada uno de los 5 sólidos participa en la idea de sólido regular e inversamente esta idea se plasma en 5 casos particulares” ( La República).

Euclides mejoró los trabajos de Teeteto en relación con los sólidos Platónicos, probando que los únicos poliedros convexos regulares (con caras y figuras vértices iguales) eran los Sólidos Platónicos. De hecho, este resultado es importante en la historia de las Matemáticas ya que constituyen el primer ejemplo de teorema fundamental de clasificación: “Ninguna otra figura, además de estos cinco (los sólidos Platónicos) se pueden construir con polígonos equiláteros y equiángulos”. Su demostración es muy simple, ya que si tenemos un poliedro regular con m polígonos regulares de n lados que confluyen en cada vértice, entonces la suma (m sumandos) de los ángulos ( (n-2)180º/n) que determinan las aristas en un vértice es menor que 360º

m (n-2) 180º/n < 360º,

esto es, (m-2)(n-2)<4. Las soluciones (m,n) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) correspondiendo en cada caso con uno de los sólidos Platónicos.

Los poliedros Platónicos pueden ser considerados como poliedros en el límite de la perfección. Algunas evidencias a este respecto son las siguientes:

• Los sólidos Platónicos son poliedros convexos cuyas caras y figuras vértices son polígonos regulares. Las figuras vértice también son polígonos regulares. Esta última

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