Poliedros

Poliedro

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Elementos de un poliedro

Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Desarrollo de los Poliedros

En geometría el desarrollo de un poliedro es la sucesión ordenada en un plano de polígonos unidos por sus lados, de forma que se puedan doblar (por los bordes) para formar las caras del poliedro. Los desarrollos de poliedros son útiles a la hora de estudiar los cuerpos geométricos, ya que gracias a ellos se pueden construir las figuras geométricas utilizando diferentes materiales como por ejemplo papel o cartón.

Es una cuestión abierta desde hace mucho tiempo si todos los poliedros convexos P (aquellos poliedros cuyos ángulos diedros entre bordes valen 180 grados) tienen desarrollo: si la superficie de P puede ser cortada a lo largo de los bordes y ser desarrollada como un polígono plano (sin solapamiento). (Este contorno a veces se denota como el despliegue del poliedro) Este problema explícito se planteó en un artículo de Shephard. La historia y los progresos sobre esta cuestión se discutieron en la Parte III de los Algoritmos de la Geometría Plegable. Si la restricción de que los cortes sean sobre los bordes del poliedro permite los cortes a través del interior de las caras, entonces existen varios métodos para cortar y desplegar un poliedro convexo sobre un polígono plano. Por ejemplo, cortar a lo largo del lugar geométrico de un punto de corte sería suficiente.

Además, en un desarrollo bien hecho, la ruta más corta (sobre la superficie) entre dos puntos de la superficie de un poliedro se corresponde con una línea recta. Dicha línea debe estar completamente dentro del desarrollo, aunque se pueden considerar diferentes desarrollos para ver cuál de ellos ofrece da el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo, si los puntos están en caras adyacentes el camino más corto puede ser aquel que cruza el vértice común; en estos casos el camino más corto se obtiene con un desarrollo en el que las dos caras también sean adyacentes. Otros posibles candidatos a ser el camino más corto son aquellos que pasan a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambos, y los desarrollos correspondientes se pueden utilizar para encontrar el camino más corto en cada caso.

Tipos de poliedros

Poliedro convexo

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Área y volumen

Área del triángulo equilátero

Área del pentágono regular

Área y volumen del cubo

Un Prisma

Es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

Elementos de un prisma

Altura de un prisma es la distancia entre las bases.

Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

Área y volumen del prisma

Tipos de prismas

Prismas regulares

Son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.

Prismas rectos

Son los prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Prismas oblicuos

Son los prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.

Paralelepípedos

Los paralelepípedos son los prismas cuyas bases son paralelogramos.

Ortoedros

Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Tipos de prismas según su base

Prisma triangular

Sus bases son triángulos.

Prisma cuadrangular

Sus bases son cuadradas.

Prisma pentagonal

Sus bases son pentágonos.

Prisma hexagonal

Sus bases son hexágonos.

Pirámide

Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

Elementos de una pirámide

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Clasificación de pirámides

Pirámide regular

La pirámide regular tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

Pirámide irregular

La pirámide irregular tiene de base un polígono irregular.

Pirámide convexa

La pirámide convexa tiene de base un polígono convexo.

Pirámide cóncava

La pirámide convexa tiene de base un polígono cóncavo.

Pirámide recta

En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

Pirámide oblicua

En la pirámide oblicua alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

Clasificación de pirámides según su base

Pirámide triangular: Su base es un triángulo.

Pirámide cuadrangular: Su base es un cuadrado.

Pirámide pentagonal: Su base es un pentágono.

Pirámide hexagonal: Su base es un hexágono.

Área lateral de una pirámide

Área de una pirámide

Volumen de una pirámide

Tronco de Pirámide

El tronco de pirámide es un poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de dichos troncos.

El área total de un tronco de pirámide está dada por la siguiente fórmula matemática:

Área total de un tronco de pirámide de bases paralelas, donde P1, P2 son los perímetros de las bases, a la apotema del tronco y B1, B2 las áreas de las bases.

El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B1 y B2, y cuya altura es h, es igual a la altura del tronco por la media heroniana del área de sus bases:

Poliedro regular

Es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.

Elementos de un polígono regular

Centro

Punto interior que equidista de cada vértice

Radio

Es el segmento que va del centro a cada vértice.

Apotema

Distancia del centro al punto medio de un lado.

Desarrollo de los Poliedros regulares

Poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en arquitectura, ingeniería, diseño industrial... Estas combinaciones de poliedros regulares son poliedros arquimedianos o el poliedro de catalán.

Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen los iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y

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