EXERCICIS DERIVADES amb solucions

EXERCICIS DERIVADES amb solucions

1. Utilitza la definició de derivada d’una funció en un punt per trobar la derivada de les següents funcions en els punts que s’indiquen:

2. Donada la funció

A ) Estudia si és derivable en x = 0 i en x = 2

B ) És continua ?

3. Determina el valor de K de tal forma que sigui derivable en x = 0.

4. Aparella cada gràfica de la columna esquerra corresponent a una funció amb la de la seva funció derivada de la columna de la dreta.

5. Trobeu a , b , c per tal que la corba y = passi pels punts ( 0 , 3 ) i ( 2 , 1 ) i tal que la tangent a la corba al punt ( 2 , 1 ) tingui pendent 3.

6. Determina una funció polinòmica de 2n grau sabent que la seva gràfica passa pel punt ( 3 , 4 ) i que el pendent de la recta tangent en el punt ( -1 , 1 ) val 1.

7. Troba la derivada de les següents funcions i simplifica al màxim el resultat:

8. Trobeu la cinquena derivada de la funció

9. Si , trobeu la quarta derivada.

10. Trobeu la derivada n-èsima de la funció y = Lnx

11. Estudiar la monotonia i la curvatura així com els extrems locals i punts d’inflexió de les següents funcions:

OPTIMITZACIÓ

12. Calculeu el valor dels coeficients a i b del polinomi , si té un valor mínim 3 per x = 2 . Trobeu també els punts d'inflexió.

13. Troba un punt de la corba y = que es troba a una distància mínima del punt

( 1 , 0 ).

14. Divideix un segment de 8cm de longitud en dues parts tal que si construïm amb cada tros un triangle equilàter, l’àrea que comprenen entre tots dos sigui mínima.

15. Determineu a , b , c i d de manera que la corba , tingui un màxim a (0,4) i un mínim a (2,0).

16. Construïu una caixa oberta a partir d'un quadrat d'1,2 m. de costat,

tallant quadrats iguals a cada cantó i doblegant els costats. Trobeu el volum de la caixa amb més capacitat que es pugui construir.

17. La part escrita de la pàgina d'un llibre ocupa 400 ; els marges superior e inferior són de dos cm. cadascun i els marges laterals , de 3cm. Quines dimensions ha de tenir la pàgina per tal d'aconseguir la màxima economia de paper ?

18. Volem emmagatzemar un líquid dins de barrils cilíndrics tancats de 160 litres de capacitat. Determineu-ne l'àrea total en funció del radi de les bases. D'entre aquests cilindres , trobeu el radi de les bases i l'alçada d'aquell pel qual la xapa emprada sigui mínima.

19. Amb un filferro d'1m. de llargada es vol construir la vora d'un rectangle l'àrea del qual sigui el més gran possible. Quines dimensions hem de donar al rectangle?

SOLUCIONS

1. A ) -5 B )

2. A ) És derivable en x = 0 , No és derivable en x = 2

B ) És continua en R – { 2 }

3. K = - 3

4. a amb 4 , b amb 3 , c amb 1 , d amb 2

5. a = 2 , b = - 5 , c = 3

6.

7. 1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. 10.

...