Economista

Solow

1. Represente gráficamente la función de producción, y a partir de ella demuestre que la productividad media y marginal del capital por trabajador (k) es igual a la productividad media y marginal del capital total (K) (pp. 6 - 8)].

Hablamos de una función de producción que representa a todas las empresas, o a una empresa representativa de todas las demás.

Adicionalmente es una función unisectorial, es decir, el bien que se produce se puede consumir y acumular.

Además el producto es igual al ingreso, por lo que se da por supuesto que los precios del bien están normalizados.

Pasando a su representación gráfica, se mide en el eje horizontal o de abscisas el capital por trabajador, que se designa con una (k) minúscula [k = K / L].

Por tanto en el eje vertical o de ordenadas queda representado el producto por trabajador, que puede ser designado indistintamente como [y = Y / L] o como [f (k)].

Este tipo de representación tiene varias ventajas.

En primer lugar mide los valores por trabajador del producto, que son los que indican realmente el nivel de bienestar de un país. La simple presentación del valor absoluto del producto, sin tomar en cuenta la población, es menos significativo.

Además, se representa en el eje de abscisas la combinación de ambos factores productivos (K, L) lo cual hace depender al producto de uno y otro y además, como veremos más adelante, nos permite representar las decisiones de los empresarios en la búsqueda de un beneficio máximo.

Por fin, tal como se puede contemplar en el gráfico que presentamos a continuación, en él quedan representadas directa o indirectamente la productividad media y marginal de los factores.

La productividad media del capital, en el mismo punto, queda representada por la pendiente de la recta trazada desde el origen del sistema de coordenadas hasta ese punto.

En efecto:

tg a = = PMeK

La productividad media del trabajo queda representada por el valor de la ordenada.

y = = Pme L

Resulta un poco más complejo explicar cómo en el gráfico están también representadas las productividades marginales.

Comencemos por probar que la productividad marginal del capital, es igual a la productividad marginal del capital por trabajador, representada en este gráfico por la pendiente de la curva o función de producción en el punto cuya productividad queremos hallar.

En este caso:

tg b = f ‘ (k) ;

La primera igualdad es evidente a partir del gráfico. Utilizamos convencionalmente el símbolo [ f ‘ (k) ] para designar a la derivada de la función [f (k)] con respecto a (k).

Para probar la segunda igualdad debemos recordar que:

y = Y = y L = L f (k) 

En la igualdad [Y = L f (k)] estamos derivando (Y) con respecto a (K), lo cual supone derivar un producto.

La derivada de (L) con respecto a (K) es cero, porque ambos factores son independientes en la función.

Para resolver (  k / K) hay que recordar que:

Por un procedimiento semejante calculamos la productividad marginal del trabajo.

Para resolver (  k /  L) hay que recordar que:

Todos los elementos presentes en la función que define la productividad marginal del trabajo [ f (k) , k , f’ (k) ] están representados en el gráfico.

2. Deduzca matemáticamente la ecuación fundamental del modelo, explicando sus términos y el procedimiento empleado (p. 9).

Aunque Solow no lo diga expresamente, sus comentaristas posteriores han hecho notar que en este modelo se tienen en cuenta únicamente las decisiones de inversión de los empresarios, pero no las de ahorro de los hogares, que se supone ahorran siempre una proporción fija de su ingreso.

Por eso, para lograr que los ahorros se ajusten automáticamente a la inversión, se considera que se está estudiando una economía de hogares que son a la vez productores y consumidores. Sería el caso, por ejemplo, de una hacienda que sólo guarda para el siguiente año los frutos que va a utilizar como semillas en la próxima siembra.

Podríamos decir también, siguiendo la concepción típicamente neoclásica, que hay pleno empleo porque los precios se ajustan automáticamente a nuevas circunstancias sin fricciones que impidan ajustarse al equilibrio.

Partimos del supuesto de que la inversión neta ( = d K / d t ) es igual a la inversión bruta, que a su vez equivale al ahorro (s Y) donde ( s ) es la propensión al ahorro menos la depreciación, que se supone es una proporción fija (  ) del capital.

A partir de ahí se aplican una serie de operaciones matemáticas para hallar la variación del capital por trabajador  o la inversión por trabajador  a lo largo del tiempo ( ).

El procedimiento matemático es el siguiente.

= I - K = s Y - K

Dividiendo entre (L) ambos miembros de la igualdad:

/ L = s (Y / L) -  (K / L) = s y -  k

Si ahora queremos hallar el valor de la inversión neta por trabajador, debemos derivar (k = K / L) con respecto a (t). Utilizando la regla de la derivación de un cociente llegamos a la siguiente conclusión.

= d(K/L)/dt = - n k = s y - k – n k

 = s f (k) - ( + n) k

La variable ( ) representa la inversión neta por trabajador. De igual manera, la expresión [s f (k)] representa el ahorro o, alternativamente, la inversión bruta por trabajador. Podemos considerar a ( + n) como la tasa de depreciación del capital por trabajador, ya que si (s) fuese igual a cero ( ) disminuiría en parte por la depreciación, y en parte por el crecimiento de la población.

3. Adapte dicha ecuación al caso del equilibrio básico, y a partir de ella deduzca matemáticamente la relación que se da entre las tasas de crecimiento de los factores productivos, tanto en equilibrio como fuera de él (p. 10).

Cuando ( = 0 ) se seguirá como consecuencia que [s f (k) = ( + n) k ]. En este caso [( + n) k] es la inversión de equilibrio, es decir, la acumulación de capital necesaria para utilizar todo el ahorro, o para mantener constante el capital por trabajador.

Ahí el trabajo crece a la misma tasa que el capital. Hay una “ampliación de capital” (capital widening ). Esto es lo que ocurre normalmente cuando no hay progreso tecnológico, por eso se define esta situación como de equilibrio estacionario

Para probar que en equilibrio estacionario ambos factores crecen a la misma tasa, basta con hacer la siguiente deducción:

s f (k) = ( + n) k

Otra forma de probar lo mismo se logra aplicando logaritmos neperianos a la expresión (k = K / L) y derivando dichos logaritmos con respecto a (t)

Cuando (k = 0), o más genéricamente cuando nos encontramos frente a una constante, su derivada es igual a cero, pues la derivada implica una variación, y las constantes no varían. En consecuencia:

En cambio, cuando ( > 0 ), tendremos que [s f (k) > ( + n) k ]. En este caso se dice que el capital crece a una tasa mayor que el trabajo, o que hay una “profundización de capital” ( capital deepening ), lo cual supone la presencia de progreso tecnológico.

4. Represente gráficamente el equilibrio básico, explicando los ejes y las funciones del gráfico (pp. 10- 11).

A partir de una función de producción [f (k)] podemos representar [s f(k) ] como una curva relacionada que está por debajo de [f (k)].

Decimos que está por debajo, porque (s < 1). Si (s =1) nos encontraríamos con el absurdo de una economía donde nadie consume, y se ahorra todo el ingreso. Todavía sería más incoherente pensar en (s >1), lo que implicaría que un país ahorra más del cien por ciento de su ingreso, que en una economía cerrada  sin financiamiento externo  resulta imposible.

Cuando se dibuja la curva [s f (k)] suponemos que (s) es constante, y que [f (k)] crece a medida que aumenta (k).

La expresión [( + n) k] se representa por una recta, dadas la constancia de () y (n).

El gráfico es, en consecuencia, como el que presentamos en la página anterior, en el que estamos señalando con líneas punteadas cuál sería el capital por trabajador de equilibrio (k*) y el producto por trabajador de equilibrio (y*), que corresponden al punto donde coincide [s f (k)] con [( + n) k], o al punto en el que ( = 0 ).

5. Explique económicamente, con la ayuda del gráfico y las funciones anteriores, por qué el sistema tiende al equilibrio (pp. 11 - 12).

Para probar que el sistema tiende al equilibrio podemos considerar qué pasa cuando (k) se encuentra a la izquierda o la derecha de su situación de equilibrio.

La prueba, a su vez, se puede hacer desde una perspectiva meramente matemática, o también económica.

Desde una perspectiva meramente matemática podemos observar que a la izquierda de (k*) la curva [s f(k)] es mayor, o está por encima, de la recta [( + n) k]. En consecuencia ( ) es positivo.

Cuando la derivada de una función o variable es positiva, eso significa que la función o variable correspondiente están creciendo. En consecuencia (k) tiende a trasladarse a la derecha.

Lo contrario ocurrirá cuando (k) está a la derecha de (k*). En ese caso tendremos que la curva [s f(k)]

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