Ejercicios Isocoros , Isotérmicosy Isobaricos
luisalejos1421 de Febrero de 2012
3.707 Palabras (15 Páginas)1.228 Visitas
5.7.1 LEY DE BOYLE O MARIOTTE
En 1.662 Robert Boyle, científico inglés, promulgó la relación matemática que existe entre
el volumen y la presión de una cantidad dada de gas a temperatura constante. Boyle encerró
una cantidad de aire en el extremo de un tubo en U empleando como fluido mercurio, como
lo muestra la Figura 4.4 En este experimento la presión que existe en el aire encerrado es
igual a la presión atmosférica más la presión ejercida por la altura (h) de la columna de
mercurio. Al verter más Hg al tubo se aumenta la presión sobre el gas se observa que el
volumen disminuye.
Boyle, en sus experimentos, descubrió que el producto del volumen por la presión, cuando
la masa y temperatura permanecen constante, es un valor aproximadamente constante.
En términos generales la ley de Boyle puede enunciarse así: El volumen ocupado por una
determinada masa de gas, cuando la temperatura se mantiene constante, es inversamente
proporcional a la presión que se ejerce sobre él.
Matemáticamente se expresa así:
V
P
1
α
si se introduce una constante de proporcionalidad k,
V = k
P
1
y multiplicando medios por extremos,
PV = k
donde:
V = volumen ocupado por el gas
P = presión 124
k = constante de proporcionalidad, depende de la naturaleza del gas.
La ecuación anterior nos enseña que si en un punto dado la presión y el volumen son P1 y
V1 y en otro punto P2 y V2, si la masa y la temperatura se mantienen constante, se debe
cumplir:
P1V1 = k
P2V2 = k
Figura 5.4 Representación del experimento de Boyle
como k es igual para los dos puntos, entonces:
P1V1 = P2V2 125
Ejemplo 5.3: Un globo perfectamente elástico y de dos metros de diámetro, se soltó a nivel
del mar donde la presión es 101,32 kPa. Cual será su diámetro cuando haya subido a 3.050
m sobre el nivel del mar, suponiendo que la temperatura se mantiene constante y que la
presión a esa altura es 68,1 kPa? (el volumen de la esfera es
3
4
π r
3
).
Solución: Planteamiento del problema:
D1 = 2 m
P1 = 101,32 kPa
D2 = ?
P2 = 68,1 kPa
V =
3
4
π r
3
T = constante
como la temperatura es constante podemos aplicar la ley de Boyle: P1V1 = P2V2 pero como
vemos no tenemos explícitamente los volúmenes. De las condiciones iniciales se puede
calcular V1:
V1 =
3
4
π r
3
donde r = D1/2 = 1 m ; reemplazando:
V1 = (4/3) x 3,1416 x 1
3
= 4,19 m
3
conocido éste volumen se calcula V2:
V2 =
2
1 1
P
P V
reemplazando:
V2 =
3
3
6.23m
66.1kPa
101.32 kPa x4.19 m
=
ahora reemplazamos éste valor en el volumen de la esfera para calcular el radio en el punto
dos:
r = 3
4
3V
π
r = 1.142 m
4x3.1416
3x6.23
3
=
126
D = 2r = 2 x 1,142 m = 2.284 m
el diámetro del globo a 3.050 metros sobre el nivel del mar es 2.284 m.
En los experimentos de los laboratorios se obtienen datos, como valores de P y V, que
probablemente tengan una dependencia. En estos casos se recomienda graficar, en un
sistema de coordenadas rectangulares, ya sea normal o logarítmico, la presión contra el
volumen (sin importar el orden de los ejes). Al unir los puntos se puede encontrar la
relación matemática entre las dos variables. Se ha comprobado que cuando la temperatura y
la masa son constantes, la curva generada por los datos es una hipérbola rectangular que
tiene los ejes coordenados como asíntotas. Al repetir el experimento a temperaturas
diferentes, se genera una familia de hipérbolas, una para cada temperatura, y como ésta es
constante para cada línea se llaman isotermas, como lo muestra la Figura 5.5.
Figura 5.5 Relación del volumen y la presión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 20 40 60
Presión (Mpa)
Volumen (mL)127
Figura 5.6 Relación entre el volumen y el inverso de la presión
Si es difícil, usando la vista, determinar que tan cerca está cada curva experimental de una
hipérbola perfecta, se puede representar la presión como una función inversa del volumen,
es decir, graficar P contra 1/V, que debe dar una línea recta, en la cual es fácil determinar
que tan significativamente el gas obedece la ley de Boyle, así como se aprecia en la Figura
5.6.
Otra forma de poder sacar una conclusión acertada es representar gráficamente el producto
de la presión y el volumen como una función de la presión o del inverso del volumen, es
decir, PV contra P o PV contra 1/V. En este caso el resultado debe ser una línea recta de
pendiente cero, paralela al eje de las presiones o al mismo del volumen, como se aprecia en
la Figura 5.7.
Ejemplo 5.4: En un experimento con cierta cantidad de gas a temperatura constante se
obtuvieron los siguientes resultados:
Presión
(Mpa)
Volumen
(L)
5.0
10.0
15.0
17.0
20.0
22.0
30.0
40.0
20.0
13.3
11.8
10.0
9.10
6.70
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3
1 / P ( 1 / M p a )
Volumen (mL)128
40.0 5.00
Demostrar que el comportamiento del gas cumple la ley de Boyle, usando los tres métodos
descritos arriba.
Solución: Como cada método representa una gráfica, se deben calcular los puntos a
graficar y para ello construimos la tabla siguiente:
Presión
(Mpa)
Volumen
(L)
P x V
(Mpa L)
1/P
(Mpa
-1
)
5.0
10.0
15.0
17.0
20.0
22.0
30.0
40.0
40.0
20.0
13.3
11.8
10.0
9.10
6.70
5.00
200
200
200
201
200
200
201
200
0.20
0.10
0.067
0.059
0.050
0.045
0.033
0.025
Al graficar V contra P se obtiene la Figura 4.5
Al graficar P contra 1/V se obtiene la Figura 4.6
Al graficar PV contra P se obtiene la Figura 4.7.
Figura 5.7 Relación entre PV y P ó V
199.8
200
200.2
200.4
200.6
200.8
201
201.2
0 10 20 30 40 50
Volumen (mL)
PxV (Mpa mL)129
Como se puede observar, a pesar de unas pequeñas desviaciones, el gas del experimento
cumple la ley de Boyle.
5.7.2 LEY DE CHARLES-GAY LUSSAC.
Se necesitó que pasaran más de 100 años, después de promulgada la ley de Boyle para que
se pudiera hallar una expresión matemática que relacionara el comportamiento de la
temperatura y el volumen de un gas cuando la masa y la presión se mantienen constante. A
pesar de que Boyle hizo algunas conjeturas al respecto, no llegó a una conclusión
definitiva. Jacques Charles en 1.787 y Joseph Gay-Lussac en 1.802, sentaron las bases de
la ley que hoy lleva sus nombres.
El principal problema radicó en el manejo del concepto de "temperatura" y su escala. Al
trabajar con la temperatura Celsius encontraron inconsistencia en los volúmenes y por lo
tanto no se pudo generalizar. Kelvin fue el que propuso la adopción de una nueva escala de
temperatura en la cual el gas perfecto o ideal ocupara un volumen cero, independiente de su
masa.
Cuando se grafica el volumen contra la temperatura Celsius y se extrapola hasta cortar el
eje de las temperaturas (Figura 4.8) se encuentra que todas ellas se interceptan en un punto
común, este punto corresponde a -273,15 °C en donde la grafica indica un volumen cero.
Si se toma una nueva escala de temperatura igual a grados celsius más 273.15, la cual se
reconoce como escala Kelvin o absoluta, es decir,
K = °C +273.15
A reemplazar el punto de corte, -273.15, queda que K = 0 que se conoce como el cero
absoluto y se observa una relación directa entre el volumen y la temperatura.
Con el anterior precedente se pudo enunciar la ley de Charles Gay-Lussac que dice:
Cuando la masa y la presión de un gas permanecen constante el volumen del gas es
directamente proporcional a la temperatura absoluta. 130
Figura 5.8 Relación del volumen con la temperatura
Matemáticamente se puede expresar
...