Ejercicios Matematicos.

Ejercicios de Matemáticas

1. Utilizando las propiedades de las potencias simplifica las siguientes expresiones:

1. [pic 1]        b) [pic 2]        c) [pic 3]        d) [pic 4]

e) [pic 5]        f) [pic 6]        g) [pic 7]        h) [pic 8]

(Sol: a) [pic 9]  b) [pic 10] c) [pic 11] d) [pic 12]  e) 2−3⋅ 3−3  f) [pic 13] g) [pic 14]  h) [pic 15] )

1. Efectúa y simplifica:

[pic 16]            [pic 17]                        (Sol: a)   1/3   b)  0 )           

1. Racionalizar  y simplificar si es posible

a) [pic 18]    b) [pic 19]  [pic 20]        (Sol: a) [pic 21]  b)  [pic 22]  c) [pic 23] )   

1. Calcula el valor de  x  en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:

[pic 24][pic 25]   c)  [pic 26]               (Sol: a) 6  b) 4  c) 81)   

1. Utilizando la definición de logaritmo, calcula:

a) [pic 27]   (Sol: 25/3)

b) [pic 28]           (Sol: −3/2)

1. Indica si es verdadero o falso razonando tu respuesta:

1. log 1000x = 3 log x        (Sol: Falso)
2. [pic 29]

1. a) Sabiendo que log 2 = 0,3010, calcula (sin utilizar la calculadora): [pic 30]  (Sol:−1,0178)

b) Escribe mediante un solo logaritmo:

3 [pic 31][pic 32]a + [pic 33][pic 34]x −[pic 35][pic 36]b + 3 [pic 37]c − 4 [pic 38]3          (Sol: [pic 39])

1. Si sabemos que  log x = 0,85,  calcula[pic 40]     (Sol: 5,567)   
2. Resuelve las ecuaciones:

1. [pic 41]        (Sol: x = 4)

1. [pic 42]                                  (Sol: x = 6 )
2. [pic 43]        (Sol:  x = 1, x = 3)        
3. [pic 44]        (Sol: x = 2)
4. [pic 45]        (Sol: x = 0)
5. [pic 46]        (Sol: x = 3)
6. [pic 47]             (Sol: x = 2) 
7. [pic 48]        (Sol: x = 1, x = −2)
8. [pic 49]        (Sol: x = 10)
9. 2 ⋅ log x + log 10 = 1 + log (10x −9)          (Sol: x = 1, x = 9)
10. [pic 50]        (Sol: x = 1)
11. log (x +1) = 2 log 2 + log x − log (3 − x)        (Sol: x = 1)
12. log (6x −1) − log (x + 4) = log x        (Sol: x = 1)
13. 3⋅ log x − log 30 = log [pic 51]         (Sol: x = 6)
14. [pic 52]        (Sol: x = −1)
15. [pic 53]           (Sol: x = 3)
16. [pic 54]        (Sol: x = 3, y  = 1; x = 2, y = −1)

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1. [pic 55]        b) [pic 56]        c) [pic 57]        d) [pic 58]

(Sol: a) [pic 59], [pic 60], b) x = 3 , y = 2, z = 1, c) incompatible, d) x = 5, y = 0, z = −2)

1. Sabiendo que  sen 25º = 0,42, halla, sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora, las razones trigonométricas de 155º y de 205º

Sol:

[pic 61]  [pic 62]

1. Si  sen α = 0,35  y  0° < α < 90°  halla (sin calcular α): a)  sen (180 −α)   b) cos (180 + α)

Solución:

[pic 63]

b) [pic 64]

1. Si [pic 65] y sen α < 0, ¿a qué cuadrante pertenece α?. Calcula el seno y el coseno de α. (Sin calcular el ángulo).     (Sol: 3º, sen  α = −5/13,  cos  α = −12/13)
2. Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo: [pic 66]

Sol: 

[pic 67]

1. Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Sol: [pic 68]

[pic 69]

1. En dos estaciones de radio,  A  y  C,  que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco,  B.  Si consideramos el triángulo de vértices  A, B  y  C,  el ángulo en  A  es de 65º y el ángulo en  C  es de 80º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?[pic 70]

(Sol: a 79 km de C  y a  85,85 km de A)

1. Resuelve los siguientes triángulos:

1. a = 12 cm; b = 16 cm; c = 10 cm     (Sol: [pic 71] = 48º 30´ 33´´, [pic 72] = 92º  51´ 57,5´´, [pic 73] 38º  37´ 29,5´´)
2. b = 22 cm; a = 7 cm; C = 40º         (Sol: [pic 74] = 15º 7´ 44,3´´ , B = 124° 52' 15,7", c = 17,24 cm)

1. Simplifica la expresión: [pic 75]        (Sol: tag a)
2. Calcula sen 15º de dos formas distintas.
3. Resuelve las ecuaciones:

1. sen2x + cos x = 0        b) 1 + cos2x = cosx         c) sen2x = tag x     d) cos (30º + x) = sen x  

(Sol: a) x = 90, x =210, x = 330 b) x =90º, x =270º, x = 60º, x = 300º,  d) x = 30º, x = 210º)

(Nota: en todas las soluciones hay que sumar k ⋅360º)

1. Dados los vectores  [pic 76] y [pic 77] = (−2, 2) referidos a una base ortonormal, Calcula:

1. [pic 78][pic 79]        (Sol: −6)
2. 2[pic 80][pic 81]        (Sol: −12)
3. ([pic 82]+[pic 83])⋅[pic 84]        (Sol: 2)

1. Calcula el valor de m para que el vector [pic 85] sea unitario. (Sol:[pic 86])
2. Calcula un vector unitario y perpendicular a  [pic 87]= (8, −6). (Sol: (3/5, 4/5) o (−3/5, −4/5))
3. Halla las componentes del vector libre [pic 88], siendo A(2, −3) y B(−5, 9). (Sol  (−7, 12))
4. Dados los vectores  [pic 89]= (2, −1) y [pic 90] = (3, 3), calcula:

1. [pic 91][pic 92]        (Sol: 3)
2. |[pic 93]|        (Sol: [pic 94])
3. |[pic 95]+[pic 96]|        (Sol: [pic 97]
4. cos [pic 98]        (Sol: [pic 99])

1. Halla el valor de x para que los vectores [pic 100] y [pic 101] sean paralelos. (Sol: x = −16/3)
2. Dados los vectores [pic 102] e [pic 103], halla los valores de a y b para que [pic 104] e [pic 105] sean perpendiculares y que [pic 106].   [pic 107]
3. Dado el vector [pic 108], halla:

1. El ángulo que forma con [pic 109]   (Sol: [pic 110])
2. El valor de k para que [pic 111] sea perpendicular [pic 112]   (Sol k = 3/2)

1. Averigua cual es el valor de m para que los puntos A(1, 0), B(4, −1), C(m, 2) estén alineados. (Sol: m = −5)
2. Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 0).
3. Calcula el valor de k para que la recta r de ecuación   2x − (k + 1)y − 4 = 0   pase por el punto (1, 1).  (Sol: k = −3)
4. Calcula el valor de a para que las rectas r: 2x + ay = 3 y s: 3x + 5y = 1 sean rectas paralelas.

(Sol: a = 10/3)

1. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta,  r,  que pasa por  P(3, −2) y es perpendicular a la recta  2x − y + 4 = 0. (Sol: [pic 113] )
2. a) Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por  P(1, 2)  y por el punto de corte de las rectas: x − 2y + 3 = 0 ,  2 x + y + 1 = 0.  (Sol: [pic 114])

b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a) con 2x − 4y +1 = 0.

(Son paralelas)

1. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = −2x + 3, y = 4x + 1.  (Sol: [pic 115])
2. Dadas las rectas r: 3x + 4y − 1 = 0 y s: 4x − 3y + 2 = 0, calcular:

1. El ángulo que forman. . (Sol: 90º)
2. Las ecuaciones de las bisectrices. (Sol: x − 7y + 3 = 0; 7x + y + 1 = 0)

1. Dado el triángulo de vértice los puntos A(1, 1), B(−3, 5) y  C(−1, −2), calcula la ecuación de :

1. La mediana que parte de B.  (Sol: 11x + 6y + 3 = 0)
2. La altura que parte de C.  (Sol: x − y − 1 = 0)

1. Averigua en cada caso, la ecuación general de la recta paralela y de la recta perpendicular a r que pasa por el punto (1, 3):

1. r: 3x − 2y + 4 = 0         (Sol: 3x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y − 11 = 0)
2. r: [pic 116]        (Sol: x − 3y + 8 = 0; 3x + y − 6 = 0)        
3. y = −2x + 3          (Sol: 2x + y − 5 = 0; x − 2y + 5 = 0)

1. Dados los puntos A(1, 1) y B(3, 2) y la recta r: x − y + 5 = 0. Halla:

1. El simétrico de A respecto B. (Sol: (5, 3) )
2. El simétrico de B respecto r. (Sol: (−3, 8) )

1. Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y s: x + 3y − 2 = 0.

[pic 117]

1. Dados el punto  P(k, 1) y la recta  r: 3x − 4y + 1 = 0, halla el valor de  k para que la distancia de  P  a  r  sea 3. (Sol: k1 = 6;  k2 = −4)
2. Halla el punto simétrico de  P(2, 3)  con respecto a la recta  r: 3x − y + 5 = 0. (Sol:[pic 118]
3. Dados los puntos  P(0, −4),  Q(2, −5)  y la recta  r: −3x + y + 1 = 0,  halla la distancia:

1.  Entre  P  y  Q        (Sol: [pic 119])
2.  De Q  a  r.            (Sol: [pic 120])

1. Dado el triángulo de vértices  A(2, 4), B(6,5)  y C(4, 1), halla:

1. Las ecuaciones de las alturas que parten de  A  y de  C.   (Sol: [pic 121],  [pic 122])
2. El ortocentro. (punto de corte de las alturas)          (Sol: [pic 123])

1. Halla el área del triángulo de vértices  A(4, 0),  B(2, 3)  y C(0, −2). (Sol: 8 u2 )
2. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta  3x + 4y − 12 = 0  con los ejes de coordenadas.  (Sol:[pic 124])
3. Dados los puntos A(−2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y distan dos unidades de B

(Sol: y = 1 y 12x − 5y + 29 = 0 )

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. y = x4 − 2x2        (Sol: R)
2. [pic 125]        (Sol:[pic 126])
3. [pic 127]        (Sol: [pic 128])
4. y = [pic 129]        (Sol: (−∞. −2] ∪ [2, +∞))
5. y = ln (x2 − 4x + 3)        (Sol: (−∞. 1) ∪(3, +∞) )

1. A partir de la gráfica de  f(x),  calcula[pic 130]

a) [pic 131]

b) [pic 132]

c)  [pic 133]

d) [pic 134]

e)  [pic 135]

(Sol: a) + ∞ b) −∞ c) 2 d) 3 e) 0

1. Halla el valor de k  para que f(x) sea continua en x = 1: [pic 136]  (Sol k = 3)
2. Calcula los siguientes límites:

1. [pic 137]        (Sol: −1/2)
2. [pic 138]          (Sol: 0)
3. [pic 139]         (Sol: 1/2)
4. [pic 140]        (Sol: 0)
5. [pic 141]          (No existe)
6. [pic 142]         (Sol: −2)
7. [pic 143]          (Sol: 1)
8. [pic 144]        (Sol: 0)
9. [pic 145]        (Sol: 24)
10. [pic 146]        (Sol: +∞)
11. [pic 147]         (Sol: 2)
12. [pic 148]        (Sol: 13/7)
13. [pic 149]          (Sol: 8)
14. [pic 150]        (Sol: 0)
15. [pic 151]        (Sol: 1/4)
16. [pic 152]          (Sol: 2)
17. [pic 153]            (Sol: [pic 154]/16)
18. [pic 155]         (Sol: −10)
19. [pic 156]        (Sol: 1/6)
20. [pic 157]        (Sol: 1/3)
21. [pic 158]        (Sol: −4)
22. [pic 159]          (Sol:−7)
23. [pic 160]        (Sol: 3)
24. [pic 161]

        (Sol: 9/4)

1. [pic 162]        (Sol: −10)
2. [pic 163]        (Sol: +∞)
3. [pic 164]        (Sol:[pic 165]−1)
4. [pic 166]        (Sol:−3)
5. [pic 167]        (Sol: 1/4)
6. [pic 168]        (Sol: 0)
7. [pic 169]        (Sol: −1)
8. [pic 170]          (Sol: 0)
9. [pic 171]        (Sol: 4/3)
10. [pic 172]        (Sol: 4/9)
11. [pic 173]             (Sol: 16/81)
12. [pic 174]        (Sol: [pic 175])
13. [pic 176]        (Sol: e3)
14. [pic 177]        (Sol: e3/2 )
15. [pic 178]        (Sol: [pic 179] )
16. [pic 180]        (Sol: [pic 181])
17. [pic 182]        (Sol: [pic 183])
18. [pic 184]        (Sol: e3)

1. Estudia la continuidad de la función:[pic 185]      (Sol: es continua en R)
2. a) Halla a para que la función definida por [pic 186] sea continua para todo valor de x. b) Una vez hallado este valor de a, obtén la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 2.        (Sol: a)   a = 2  b)  y −[pic 187]=[pic 188](x −2) )
3. Siendo [pic 189]  y   [pic 190]                                 

1. Halla el dominio de f y g   ( Dom f = R, Dom g = [−1/2, +∞)
2. Halla [pic 191] y f[pic 192]g        (([pic 193])(x) = [pic 194] , (f[pic 195]g) = 8 − 2 [pic 196])
3. Calcula [pic 197].         (Sol:[pic 198])

1. Dada la función [pic 199] se pide:

1. Asíntotas.     (Sol: A. horizontal x = 0, asíntota oblicua  y = −2x)
2. Puntos de corte con los ejes.  (Sol: al eje X en [pic 200], [pic 201], no corta al eje Y).
3. Simetrías de la curva y = f(x)  (Sol: es simétrica respecto del origen de coordenadas).

1. Halla las asíntotas de la función: [pic 202] 
2. Calcula las funciones derivadas y simplifica cuando se pueda:

1. [pic 203]        (Sol:[pic 204] )
2. [pic 205]          [pic 206]
3. f(x) = [pic 207]        (Sol:[pic 208])
4. [pic 209]        [pic 210]
5. y = [pic 211]           [pic 212]
6. [pic 213]               (Sol: [pic 214])
7. y = sen3 x ;           (Sol: [pic 215])
8. [pic 216]                (Sol: [pic 217])
9. [pic 218]        (Sol: [pic 219])
10. y = [pic 220]          (Sol:[pic 221])
11. [pic 222]        (Sol: [pic 223] [pic 224])
12. [pic 225]        (Sol: [pic 226])
13. y = [pic 227]        (Sol: [pic 228] [pic 229])
14. [pic 230]        [pic 231]
15. [pic 232]        [pic 233]

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a  f(x) =[pic 234] en el punto  x = 2. (Sol: y −3 = −2 (x − 2))
2. Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva  y = 3x2 + x –1. (Sol: [pic 235])
3. Dada la curva de ecuación  y = −x3 + 26x, calcula las rectas tangentes a la misma, que sean paralelas a la recta de ecuación y = −x. (Sol: y = −x − 54, y = −x + 54.)
4. Calcula las siguientes integrales:

1. [pic 236]                (Sol: [pic 237])
2. [pic 238]                (Sol: [pic 239])
3. [pic 240]                (Sol: [pic 241])
4. [pic 242]        (Sol: [pic 243])
5. [pic 244]        [pic 245]
6. [pic 246]                (Sol:  [pic 247]
7. [pic 248]                (Sol: [pic 249]
8. [pic 250]                (Sol: (ln x)4/4 + k )
9. [pic 251]                   (Sol: [pic 252] )
10. [pic 253]                (Sol: [pic 254] + k)
11. [pic 255]        (Sol: [pic 256]+ k)
12. [pic 257]        (Sol: [pic 258]
13. [pic 259]        (Sol: [pic 260])
14. [pic 261]        (Sol: ln | x3 − 1| + k)
15. [pic 262]        (Sol: 2 ln(x2 + 2x +6) + k)
16. [pic 263]                  (Sol: [pic 264])
17. [pic 265]        (Sol: ln | tag x| + k)
18. [pic 266]        (Sol: [pic 267])
19. [pic 268]        (Sol: [pic 269])
20. [pic 270]        (Sol: [pic 271])
21. [pic 272]        (Sol: arc tan (sen x) +k)
22. [pic 273]        (Sol:[pic 274])
23. [pic 275]        (Sol: −cos x2 + k )
24. [pic 276]        (Sol: sen x3 + k)
25. [pic 277]        (Sol: [pic 278])
26. [pic 279]                (Sol: ex(x + 1) − ex + K = ex⋅x + K)
27. [pic 280]        (Sol:[pic 281] )
28. [pic 282]        (Sol: x2 sen x +2x cos x −2 sen x + k)

...