Ejercicios Resueltos De Dimanica Y Estatica De Fluidos

Apuntes de la materia de Física II: Ejercicios resueltos de estática y dinámica de fluidos.

• Ejercicios originales resueltos para incluir en el tema estática de fluidos, sección densidad de una mezcla de sustancias.

1. (*2) Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas de cada fluido songr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm3 y m2 = 400 gr, considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule:

a) El volumen total de las burbujas

b) La densidad de la mezcla.

Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.

Despejando VB, obtenemos

VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente forma:

V1 =m1gr/1cm3 = 600 cm3;

V2 = m2/400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3

Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:

Solución inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.

2. Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, 2 = 0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el volumen de la mezcla es VM = 766.27 cm3, calcular:

a) La densidad de la mezcla.

Solución: La densidad de la mezcla está dada por

Sustituyendo m = V, se obtiene

Ejemplo 5. Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular:

a) La densidad de la aleación,L =?

b) El “quilataje” del oro en la aleación

Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.

Respuesta:

a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo, , donde mM y VM son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.

b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuación 1.10, desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro está dado por:

Con las respectivas fracciones de volumen del oro y del

cobre en la aleación.

Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:

Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu:

Despejando la masa de oro, de la última ecuación:

Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %= 5.712Kg/12Kg = 47.6%.

es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán:

, entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro calculado son:

Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro.

• Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principio de Arquímedes

Ejemplo 1. (*3) El objeto metálico homogéneo, O, figura (1) ejercicio 9, está suspendido mediante una cuerda de peso despreciable, de una balanza de resorte B1 (Dinamómetro), que muestra una lectura de 7.25 kg., mientras que la balanza B2 registra la masa de un líquido, L, (5Kg) y la del vaso que lo contiene, V, (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentra sumergido en el líquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientras que la B2 señala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m3. En la figura 3, el objeto, O, se deja reposando en el fondo del vaso, y la balanza B2 registra la masa del vaso, la masa del líquido y la masa del objeto.

a. ¿Cuál es la fuerza de empuje del líquido sobre el objeto?

b. ¿Cuál es la densidad del líquido?

c. ¿Qué pasó con las fuerzas de empuje y la fuerza aparente del objeto dentro del fluido, en la situación representada por la figura 3? ¿desaparecieron?

Solución inciso a) Para un objeto que no flota, se tiene que la fuerza de flotación, FL, está dada por la diferencia entre el peso del objeto fuera del fluido, WO, y el peso dentro del mismo (peso aparente), Wa:

Solución inciso b) Utilizando la fórmula para la fuerza de flotación que proporciona el principio de Arquímedes, obtenemos:

De donde obtenemos la densidad del fluido, que todavía no conocemos, en el que se encuentra el objeto sumergido.

El resultado sugiere que el líquido en el que se sumerge el objeto es agua.

Solución inciso c) En la representación de la figura 3, la balanza B1 no registra nada, mientras que la balanza B2 Registra el peso del fluido, el peso del vaso y el peso del objeto, pero este último es igual al peso aparente mas la fuerza de flotación: WO = WA + FF.

Ejemplo 2. (3*) Se construye una lancha rectangular formada por seis placas de Aluminio, figura, con las siguientes dimensiones: ¼ pulgada de espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y 0.70 cm de altura; la cual tiene como armadura unas costillas de refuerzo, compuesta por barras, también de aluminio, con dimensiones de ½ pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte y en total suman 40 m de longitud. Si se deposita una masa de 3 toneladas dentro de la lancha, calcular:

a) La profundidad, h, que se mete la lancha en el agua.

Solución. La profundidad h que la lancha se introduce en el agua debido al peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado, VFd = Ah, cuyo peso es la fuerza de flotación (Principio de Arquímedes). Las fuerzas que intervienen con la lancha flotando son: La fuerza de flotación FF, el peso del aluminio estructural de la lancha, WAl, y el peso adicional, Wm, proporcionado por la masa de 3 toneladas, de tal forma que la fuerza de flotación sea igual a la suma de las otras como requisito para que flote.

Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2= 29400 N,

WAl =mAlg

Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total del mismo multiplicado por su densidad:

,

El volumen del aluminio es:

Entonces

Por tanto, la fuerza de flotación queda:

Por el Principio de Arquímedes, :

Finalmente,

• Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinámica de fluidos, ecuación de Bernoulli.

Ejemplo 1. (3*) (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular:

a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza.

b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B.

c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

Solución inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene:

Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A1, es mucho mayor que el área de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v1, será mucho menor que la velocidad de descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación de Bernoulli se reduce a:

En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0.

Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:

Con h = h1 – h2.

Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando

Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual se estabiliza el nivel de fluido en el tanque.

Finalmente,

Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:

Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), la ecuación anterior queda:

Despejando v3:

Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula

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