Ensayo sobre Matrices

Ensayo sobre Matrices.

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza.

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

La teoría de matrices es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de matrices. Inicialmente una rama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendo los temas relacionados con la teoría de grafos, el álgebra, la combinatoria, y la estadística también.

Las matrices ahora se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

A continuación mostraremos ciertas aplicaciones de las matrices en áreas muy importantes de la ciencia. Como lo son la ingeniería, la instrumentación, la electrónica, entre otras.

LAS MATRICES EN LA CIENCIA

En la ingeniería

En la ingeniería algunos de los usos o aplicaciones que tienen las matrices son en solución de sistemas de ecuaciones, obtención del hidrograma de escurrimiento y cálculo estructural.

El último es obviamente el más importante. Se conoce como método matricial y es el más usado actualmente, ya que es la base de todos los programas de cálculo estructural. Mediante este método se pueden conocer las reacciones en los apoyos, fuerzas internas, deflexiones y desplazamientos de todos los miembros.

En la informática

Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar [gráficos], y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

La teoría matrices es ampliamente utilizada en la informática. Las bibliotecas gráficas como por ejemplo OpenGL se valen de transformaciones espaciales y de las matrices para representar gráficos 3D a 2D que luego se traducen a imagen en los monitores.

Para resolver sistemas de ecuaciones se emplean matrices, y gracias a ellas es como una máquina puede resolver grandes operaciones y ecuaciones complejas en tiempo relativamente corto (dejando de lado los grandes sistemas de simulaciones como los que se emplean para simular los efectos del calentamiento global... que manejan grandes ecuaciones, incógnitas y factores).

También son muy útiles para agilizar algunas operaciones algebraicas que de otro modo serían tediosas de resolver de otro modo... Por ejemplo, calcular el valor n-ésimo (para un n muy grande) de la serie de Fibonacci es impráctico por algoritmos recursivos, e iterativos. Lo mejor es optar por algoritmos basados en el principio divide y vencerás y en las matrices. Ve el siguiente enlace:

Los sistemas de detección de rostros no podrían concebirse sin el aporte de las transformaciones espaciales, vectoriales y de las matrices. Las técnica EigenFace se basa en los principios y propiedades de las matrices cuadradas, de los auto valores, auto vectores, matriz de covarianza, y otros más para realizar los cálculos y predecir un rosto.

Esta técnica, EigenFace, puede incluso ser útil no sólo para rostros sino para cualquier objeto. Lo fundamental es que todos los elementos que formen parte del conjunto de entrada tengan cierta forma o patrón común. Por ejemplo, todos los rostros se caracterizan por tener una forma más o menos normal: dos ojos, una boca, una nariz, etc. Si tú mezclas diferentes objetos no va a saber diferenciar a uno de otro.

En la programación lineal se emplea ampliamente los sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Estos, como ya he dicho se resuelven velozmente mediante matrices.

Esta misma técnica se emplea en los sistemas de tomas de decisiones o STD.

En los videos juegos y sistemas de simulación se emplean muchas veces para representar de forma abstracta ciertas estructuras de datos que puedan representar algunas entidades del dominio en estudio. Por ejemplo, se puede representar o concebir el mapa de un terreno de un juego como una matriz.

En la instrumentación

El método de la matriz de Müller es muy similar al usado para el cálculo del modo de dispersión polarizado, pero con algunas pequeñas diferencias. En este caso, la técnica trabaja completamente en el espacio de Stokes, calculando la matriz de transferencia de Müller 3x3. A diferencia de la técnica de Jones, aquí se utilizan solamente dos estados de polarización de la señal de entrada, que a su vez pueden reducirse a sendas polarizaciones lineales con un ángulo arbitrario entre ambas. El valor de este ángulo no afecta al resultado de la medida, pero sí que influye en el nivel de ruido. En este método, se supone además que no existen pérdidas dependientes de la polarización.

En la electrónica

El comportamiento de muchos componentes electrónicos puede ser descrito utilizando matrices. Sea A un vector 2-dimensional con la tensión del componente de entrada V1 y entrada de corriente i1 como sus elementos, y B es un 2-dimensional con vector de tensión de salida del componente v2 y salida de corriente /2 como sus elementos. Entonces, el comportamiento del componente electrónico puede ser descrita por B = H • Una, donde H es de 2 x 2 que contiene una matriz de elemento de impedancia (H 12), un elemento de admisión (H 21) y dos elementos de dimensiones (H 11 y H 22). El cálculo de un circuito ahora se reduce a la multiplicación de matrices.

Otra de las aplicaciones es la construcción de carteles basadas en una matriz de diodo de nxn. Un cartel formado por varias filas y columnas de LEDs, convenientemente programado, puede servir para pasar mensajes publicitarios, decorar nuestra habitación, ordenador o lo que se nos ocurra. No solo se trata de un proyecto más que interesante para llevarlo a cabo como hobbysta, sino que puede resultar interesante como un producto comercializable. Es que estas matrices, que en algunos países se las conoce como “cartel de LEDs” o “Publik”, son un recurso muy frecuentemente utilizado con fines publicitarios o informativos. Desde el punto de vista del hardware, básicamente consiste en una matriz de píxeles similar a los de la pantalla de un ordenador, generalmente de un solo color (la mayoría de las veces rojos), aunque con el descenso de los precios de los LEDs individuales o en paneles, es cada vez más frecuentes ver carteles “bicolores” o incluso “multicolores”, aprovechando la ventaja de los LEDs RGB, que pueden mostrar cualquier color.

En la electricidad

En la electricidad las matrices son usadas en la solución de circuitos eléctricos, el análisis de los circuitos RC, obtención de la ecuación diferencial de primer orden y solución de Laplace, análisis de circuitos RC sin fuentes. De igual manera en la aplicación del método de solución circuital y nodal por medio de matrices de impedancia y admitancia.

En la electricidad la mayoría de las soluciones de problemas conlleva a un sistema de ecuaciones, el cual se soluciona mediante la aplicación de matrices en cualquiera de sus métodos.

En las máquinas

Las máquinas herramienta pueden utilizar una gran variedad de fuentes de energía. La energía humana y la animal son opciones posibles, como lo es la energía obtenida a través del uso de ruedas hidráulica. Suelen utilizar troqueles y matrices como útiles. Los procesos son muy rápidos y son máquinas de alto riesgo de accidente laboral.

Otras aplicaciones

Las matrices tienen muchas aplicaciones. Física hace uso de matrices en varios ámbitos, por ejemplo, en la óptica geométrica y la mecánica matricial, este último llevó a estudiar en más detalle las matrices con un número infinito de filas y columnas. Teoría de grafos usa matrices para hacer un seguimiento de las distancias entre pares de vértices en un gráfico. Infografía utiliza matrices para proyectos 3-espacio tridimensional en una pantalla de 2 dimensiones. Cálculo de la matriz clásica generaliza conceptos analíticos como los derivados de las funciones o exponenciales de matrices. Esta última es una necesidad recurrente en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Serial ismo y dodecafonismo son movimientos musicales del siglo 20 que utiliza una matriz matemática cuadrada para determinar el patrón de intervalos de la música.

CONCLUSION

El uso más importante es para resolver ecuaciones lineales de muchas variables en forma sistemática y compacta. (Esto incluye problemas de física de muchos cuerpos y cualquier aproximación lineal de un problema no lineal). También se pueden crear las llamadas "matrices de transición" que son matrices que describen procesos de transición de estados cuánticos.

La matriz es un elemento matemático que permite escribir muchos problemas en forma conveniente y compacta. Cualquier problema que lidie con ecuaciones lineales es directamente traducible a un problema de matrices.

Es importante para el análisis de variables utilizar mucho el método de Gauss Jordan de análisis de variables como uso de fertilizantes ajustes de dosis, costos, márgenes brutos, diferentes costos de oportunidad para el uso de la tierra y aplicamos programas informáticos ya preestablecidos en una materia específica Programación lineal que es una materia netamente informática. Se ahorra tiempo y esfuerzo.

Gran parte del manejo de información que el usuario realiza, está generalmente reducida a ta¬blas, cuadros (matrices) y fórmulas que en conjun¬to integran en forma coherente toda la data y las reglas para manejarla. Por ejemplo: Inventarios, Evaluación Financiera, Evaluación de Proyectos, Contabilidad, Formulación de Raciones, etc.

En forma tradicional ese manejo que se lleva a cabo con calculadora, papel y lápiz, toma el aspec¬to de una matriz, que por razones físicas no puede ir más allá de unas pocas decenas de filas y colum¬nas. El computador, en cambio, puede llegar a crear en su memoria una matriz gigante de varios cientos o miles de filas y columnas (cuando el computador tiene suficiente RAM y el programa lo permite). La pantalla del equipo pasa a transfor¬marse en una ventana electrónica que se puede desplazar libremente por toda la matriz.

Con los programas evaluados en esta sección es posible sistematizar y agilizar el manejo de grandes volúmenes de datos numéricos sin que sea preciso escribir un programa computacional propio en Basic, o algún otro lenguaje.

...