Funciones De Transferencia

A-1 Funciones de Transferencia

En la teoría de control muy frecuentemente se utilizan funciones denominadas Funciones Transferencia, para caracterizar las relaciones de entrada-salida de sistemas lineales invariantes en el tiempo. El concepto de función de transferencia se aplica solamente a sistemas lineales invariantes en el tiempo, aunque se puede extender a ciertos sistemas de control no lineales [13].

El motor de C.C, es un dispositivo que actúa sobre la potencia para proporcionar energía a una carga, como se muestra en la figura A.1.1 [14].

La función de transferencia del motor de C.C, se establecerá para una aproximación lineal de un motor real y se despreciaran los efectos se segundo orden, como la histeresis y la caída de potencial en las escobillas. El voltaje de entrada puede aplicarse a los terminales del campo o a los de la armadura. El flujo en el espacio de aire del motor es proporcional a la corriente del campo, siempre que el campo no este saturado, de este modo que

 =Kf if.

Se supone que el momento de torsión desarrollado por el motor esta relacionado linealmente con  y con la corriente de la armadura como sigue:

Tm = Km  ia(t) =Ki Kf if(t) ia(t). (A.1.1)

Según la ecuación (A.1.1), es evidente que para tener un elemento lineal debe mantenerse una corriente constante, mientras que la otra se vuelve corriente de entrada. Primero se considera controlada la corriente del campo, lo que proporciona una sustancial amplificación de potencia. Entonces tenemos, en la notación de transformada de Laplace,

Tm(s) = (K1Kf Ia)If(s) = Km If (s)

Figura A.1.1 Motor de C.C.

Donde ia = Ia es una corriente de armadura constante y Km se define como la constante del motor. La corriente del campo esta relacionada con el voltaje del campo por

Vf(s)= (Rf +Lf s)If (s).

El momento de torsión del motor Tm(s) es igual al proporcionado a la carga. Esta relación puede expresarse como

Tm(s)= TL(s)+ Td(s).

Donde TL(s) es el momento de torsión de la carga y Td(s) es el momento de torsión de perturbación, a menudo debe. Sin embargo, el momento de torsión de perturbación, a menudo debe considerarse en sistemas sujetos a fuerzas externas, como las ráfagas del viento en las antenas. El momento de torsión de la carga para una inercia de rotación como la mostrada en la figura A.1.1, se escribe como

TL(s) = Js2 (s) + fs (s). (A.1.2)

Figura A.1.2 Modelo del diagrama de bloques para el motor de C.C, controlado por el campo.

Ordenando las ecuaciones, tenemos

TL(s)= Tm(s)- Td(s). (A.1.3)

Tm(s) = Km If (s).

Por tanto, la función de transferencia de la combinación motor-carga es

En la figura A.1.2, se muestra el modelo del diagrama de bloques para el motor de C.C, controlado por el campo. En forma alterna, la función de transferencia puede escribirse en términos de las constantes de tiempo del motor como

Donde f=Lf/Rf y L=J/f típicamente, encontramos que y con frecuencia la constante de tiempo puede despreciarse.

El motor de C.C, controlado por la armadura utiliza una corriente de campo constante y, por tanto, el momento torsión del motor es

Tm(s) = (K1Kf If)Ia(s) = Km Ia (s) (A.1.4)

La corriente de la armadura se relaciona con el voltaje de entrada aplicado a la armadura por

Va(s)= (Ra +La s)Ia (s) + Vb(s).

Donde Vb(s) es el voltaje de la fuerza contraelectromotriz proporcional a la velocidad del motor. Por tanto, tenemos

Vb(s)= Kbw(s)

Y la corriente de la Armadura es

Las ecuaciones (A.1.2) y (A.1.3) representan el momento de torsión de la carga, de modo que

TL(s) = Js2 (s) + fs (s) = Tm(s)- Td(s). (A.1.5)

En la figura A.1.3 se muestra esquemáticamente las relaciones del motor de C.C, controlado por la armadura. Usando las ecuaciones (A.1.4) y (A.1.5), o en forma alterna, el diagrama de bloques, obtenemos la función de transferencia

Sin embargo, para muchos motores de c.c., es despreciable la constante de tiempo de la armadura, y por tanto

Donde la constante de tiempo equivalente 1=RaJ/(Raf+KbKm).

Es interesante observar que Km es igual a Kb. Esta igualdad puede comprobarse considerando la operación cuando se desprecia la resistencia del rotor. La potencia de entrada al rotor es (Kbw)ia y la potencia entregada al eje es Tw. En la condición de estado estacionario, la potencia de entrada es igual a la potencia entregada al eje, de modo que (Kbw)ia = Tw; como Tm= Kmia, encontramos que Kb=Km.

Figura A.1.3 Motor de c.c. controlado por armadura.

Los motores eléctricos se emplean para mover cargas cuando no se necesita una respuesta rápida y para requerimientos de potencia relativamente bajos.

Comparación

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