Transformada de Laplace Funciones de Transferencia
Enviado por Abigail Medina • 5 de Octubre de 2021 • Informes • 1.820 Palabras (8 Páginas) • 150 Visitas
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Transformada de Laplace Funciones de Transferencia[pic 2]
Abigail Medina C[pic 3]
Departamento de Matem´atica, Universidad de Carabobo Curso de Variable Compleja
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Introduccio´n
Los modelos matem´aticos son la parte m´as importante de un sistema de control, estos se pueden escribir por medio un sistema de ecuaciones diferenciales, las cuales se pueden obtener mediante el uso de leyes f´ısicas que rigen un determinado sistema. Dicho esto cabe mencionar que la finali- dad de este proyecto es estudiar la aplicaci´on de modelos matem´aticos de un sistema de control.
La funci´on de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI),es una funci´on de variables complejas y se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposici´on de que las condiciones iniciales son nulas. La funci´on de transferencia puede obtenerse por inspecci´on o por simples manipulaciones algebraicas de las ecuaciones diferenciales que describen los sistemas. Dichas funciones pueden describir sistemas de muy alto orden, incluso en sistemas de dimensiones infinitas gobernados por ecuaciones diferenciales parciales.
Transformada de Laplace[1]
Definicio´n
F (s) = ∫ ∞ f (t)e−3tdt = l´ım ∫ ∞ f (t)e−3tdt (1)
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En general usaremos las letras minusculas para denotar funciones de t, por ejemplo f (t) y mayu´sculas para denotar sus correspondientes transformadas de Laplace, en este caso F (t)[pic 7]
Transformada Inversa de Laplace[1]
Definicio´n
Sea F (s) una funci´on anal´ıtica en el semiplano Re s a del plano complejo s. Supongamos que existen tres constantes positivas m, R0 y k tales que F (s) m/ s k cuando s < R0 en dicho semiplano. Entonces existe una funci´on f (t) cuya transformada de Laplace de F (s); esta[pic 8][pic 9]
funci´on est´a dada por
f (t) = L
−1F (s) =
1 ∫ a+i∞
F (s)estds (2)
2πi
a−i∞
Esta ecuaci´on tambi´en se conoce como formula integral de Bromwich.
Estabilidad
Definicio´n
Decimos que una funci´on f (t) est´a acotada para t positivo si existe una constante M tal que
|f (t)| < M para todo t > 0
Sistema estable
Un sistema estable es aquel que genera una respuesta acotada para toda excitaci´on acotada.
Funci´on de Transferencia[1]
Definicio´n
Es la funci´on que multiplicada por la transformada de Laplace de la sen˜al de entrada, propor- ciona la transformada de la sen˜al de salida. Tambi´en se le conoce como funci´on del sistema.
Todas las funciones como condici´on inicial deben ser iguales a cero en t = 0. Esto equivale a exigir que, en t = 0, no haya energ´ıa almacenada en el sistema.
Todo sistema cuya respuesta est´e relacionada con la excitaci´on mediante una ecuaci´on dife- rencial lineal con coeficientes constantes, tiene funci´on de transferencia correspondiente.
La funci´on de transferencia es de la forma
G(s) =
A(s)
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B(s)
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donde A y B son polinomios de s.
Lenguaje gr´afico de los sistemas de control[2]
Esquemas de bloques
Unas de las representaciones graficas de los sistemas de control son los esquemas de bloques, ya que estos facilitan la construcci´on de modelos, su interpretaci´on y reducci´on. Representan relaciones algebraicas y, en principio, son v´alidos para sistemas lineales.
S´ımbolos:
- Las variables se representan por medio de flechas y est´an en el dominio transformado.
x(t)[pic 11]
Los sistemas y los subsistemas son cajas que contienen el nombre de la funci´on de trans- ferencia (tambi´en llamada transmitancia). Estos bloques pueden corresponder a sistemas f´ısicos o a algoritmos. En general son un conjunto de operaciones que transforman la sen˜al.[pic 12]
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Las operaciones son sumas y restas, y tomas de informaci´on (sin que haya drenaje, es decir, no se tiene en cuenta la conservaci´on de la energ´ıa, s´olo se toma informaci´on)[pic 14]
X1[pic 15]
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