Ecuación de la función de transferencia de primer orden.

8.           Obtención del modelo dinámico

En este apartado se habla sobre la metodología ocupada para la obtención del modelo dinámico. Buscando la estabilidad de nivel, dado un cierto flujo a través del tiempo. Además de buscar la misma estabilidad dado un flujo mayor o bien un cambio escalón.

Cabe mencionar que todos los datos empleados en esta práctica fueron adquiridos de la plataforma de Labview misma en la cual se corrieron todas las pruebas en tiempo real.

Los datos obtenidos en la plataforma de LabView del cambio escalón producido en el experimento se exportan a una hoja de cálculo de excel para poder calcular el valor de la ecuación de la función de transferencia de primer orden (que es la que más se ajusta a nuestro modelo), ajustando el tiempo a cero, suponiendo que nosotros iniciamos en el tiempo cero, se grafican los valores de tiempo contra nivel como se ve en la siguiente gráfica.

[pic 1]

Se buscan los parámetros que se ajustaran al comportamiento antes obtenido (línea azul) con las siguientes formulas:

Ecuación de la función de transferencia de primer orden

[pic 2]

Solución del tiempo cuando se le aplica un cambio escalón

[pic 3]

Donde:

K: ganancia

Ƭ: constante del tiempo

Para saber el valor de la ganancia (k) se tomó partida de la siguiente ecuación.

 = 0.4338698[pic 4]

Donde:

        Vf: Valor final

        Vi: valor inicial

        ΔU: cambio de flujo conocido

Se grafica la solución de la ecuación del tiempo cuando se le aplica un cambio escalón contra el tiempo a modo de ajustarse con la línea del nivel.

Por último se busca el valor de Ƭ y de K minimizando el cuadrado del error para un ajuste más homogéneo utilizando las siguientes formulas y con ayuda de un la herramienta solver de Excel pidiendo que la sumatoria sea mínima manipulando los valores k y Ƭ.

[pic 5]

[pic 6]

Dando como resultado una línea de modelo más ajustada (línea roja) con la línea de nivel (línea azul) con: K = 0.434 y Ƭ =82.86. Como se muestra en la siguiente grafica[pic 7]

9. Sintonización

Este apartado describe la metodología empleada para la obtención de los parámetros del controlador PID, buscando los parámetros más idóneos que se ajusten a las necesidades del sistema evitando lo más que se pueda la oscilación y tratando que reaccione lo más rápido posible.

Tomando como punto de partida la función de transferencia del sistema y con base a nuestro apartado 7 se tiene en cuenta que nuestros parámetros son de K = 0.434 y Ƭ= 82.86 s =1.381 min, a partir de los cuales se calcula los valores de λ, Kc y Ti. Dando como resultado los siguientes valores.

 [pic 8]

 = 1.35[pic 9]

 = 1.381[pic 10]

= 2.34[pic 11]

Es importante aclarar que se debe transformar el valor de 82.86s a minutos y se supone que Ti es igual a .[pic 12]

Para asegurar que nuestro sistema es estable se ocupa el sistema de polos y zeros con la implementación de la función de transferencia del controlador Feedback:

Gps=[pic 13]

Implementando con un software que resuelve raíces polinómicas:

[pic 14]

[pic 15]

Los resultados son negativos por lo tanto se tiene un sistema estable y aceptablemente rápido.

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