Funciones vectoriales resumen

Funciones Vectoriales

Algunos resultados sobre derivadas de funciones vectoriales Definici´on: Si r(t) es un vector de posici´on de una particula que se mueve a lo largo de una curva suave en el espacio, entonces: a) la velocidad es la derivada de la posici´on v(t) = dr(t) dt b) la rapidez es la magnitud de la velocidad kv(t)k c) la aceleraci´on es la derivada de la velocidad a = dv(t) dt = d 2r(t) dt d) el vector v(t) kv(t)k es una direcci´on de movimiento en el tiempo t. Ejemplo: El vector r(t) = 3 costˆi+3 sin tˆj+t 2ˆk da la posici´on de un cuerpo en movimiento en el tiempo t. Encuentre la rapidez del cuerpo y su direccion cuando t = 2 ¿En que tiempo son ortogonales los vectores velocidad y aceleraci´on del cuerpo? Soluci´on: Tenemos que dr(t) dt = −3 sin tˆi + 3 costˆj + 2t ˆk kr 0 (t)k = p (−3 sin t) 2 + (3 cost) 2 + (2t) 2 = p − sin2 t + 9 cos2 t + 4t 2 √ 9 + 4t 2 por lo tanto si t = 2 entonces p 9 + 4(2)2 = √ 25 = 5 por lo tanto la direcci´on es 1 5 (−3 sin 2, 3 cos 2, u) por otro lado, r · a = 0 ⇔ (−3 sin t, 3 cost, 2t) · (−3 cost, −3 sin t, 2) = 0 ⇔ 9 sin t cost − 9 costsin t + 4t = 0 ⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0 Ejercicio: Encontrar la funci´on de una particula a partir de su funci´on velocidad y posici´on inicial. La velocidad de una particula que se mueve en el espacio es dr(t) dt = costˆi − sin tˆj + ˆk Encuentre la psici´on de la particula e funci´on de t si r(0) = 2ˆi + ˆk 1 Soluci´on: Nuestra meta es resolver el problema de valor inicial que consiste en la ecuaci´on diferencial dr(t) dt = costˆi − sin tˆj + ˆkconr(0) = 2ˆi + ˆk al integrar de ambos lados r(t) = sin tˆi − costˆj + t ˆk + c y el valor de c lo encontramos a partir de la condici´on inicial sin(0)ˆi − cos(0)ˆj + (0)ˆk + c = 2ˆi + ˆk por lo tanto c + ˆj = 2ˆi + ˆk c = 2ˆi − ˆj + ˆk por lo tanto r(t) = (sin t + 2)ˆi + (cost − 1)ˆj + (t + 1)ˆk Ejercicio: Hallar el ´angulo formado por las graficas de las funciones definidad por f(t) = (t, t2 + 1, 1 − 2t), g(w) = (w + 1/2, −2 + 8w, −2) en algunos de los puntos de intersecci´on. Soluci´on: El ´angulo formado por dos curvas e un punto de intersecci´on es el formado por sus tangentes en el mismo punto. Primero igualaremos las funciones componente a componente t = w + 1 2 | {z } t 2 + 1 = −2 + 8w | {z } 1 − 2t = −2w | {z } 1 2 3 Sustituyendo 1) en 2) (w + 1 2 ) 2 = −2 + 8w w 2 − 7w + 13 4 = 0 w1 = 13 2 , w2 = 1 2

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