Fundamentacion Matematica

Fundamentación Matemática

Profesor: Luis López Macías

CONTENIDO

PREFACIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTRODUCCION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

UNIDAD 1: NUMEROS REALES (AXIOMAS DE CAMPO Y SUS CONSECUENCIAS)

UNIDAD 2: AXIOMAS DE ORDEN Y SUS CONSECUENCIAS

UNIDAD 3: RELACIONES Y FUNCIONES

NUMEROS REALES (AXIOMAS DE CAMPO Y SUS CONSECUENCIAS)

Objetivos:

1.0. Introducción

1.1. Axiomas de campo de los números reales

1.2 Exponentes enteros y racionales

1.3 Polinomios en una variable

1.4 Fracciones racionales

1.5 Ecuaciones en una variable

1.5.1 Lineal

1.5.2 Cuadrática

1.5.3 Racionales

1.5.4 Radicales

1.6. Sistema de Ecuaciones Lineales S.E.L

1.6.1Fracción parcial

1.7 Ejercicios y aplicaciones

1.8 Bibliografía

Introducción

Números reales

Dada una línea, como en la figura, donde 0 representa el origen, los números reales se pueden representar como puntos sobre la línea en la que cada número real corresponde a un punto exacto y cada punto de la recta corresponde a un número real exacto. Tal recta con correspondencia uno a uno se llama recta de números reales. Los números positivos representan puntos a la derecha de cero; los números negativos representan puntos a la izquierda de cero. El conjunto de los números reales se divide en varios subconjuntos: N〖⊂N〗_0⊂Z⊂Q⊂®⊂©.

Números enteros (Z) son números completos; pueden ser positivos o negativos y se incluye el cero. Los enteros positivos y que usamos para contar se llaman números naturales N={1,2,…} se definen también como el conjunto N_0, llamado el conjunto de los números enteros no negativos N_0={0,1,2,…} la única diferencia entre N y〖 N〗_0 es que este ultimo contiene el número cero.

El conjunto de los números enteros es N〖⊂N〗_0⊂Z y se representa por: Z={⋯,-3,-2,-1,0,1,2,⋯}

Números racionales (Q)

El conjunto de los números racionales N〖⊂N〗_0⊂Z⊂Q es un numero de la forma a⁄b, donde a y b son números enteros y b ≠0. Los números racionales se representan: Q= {x│a,b∈Z,b≠0}

Números irracionales (Q^c)

Los números que no son racionales, es decir, los que no pueden ser expresados como un decimal periódico como √2,√3,√5,… y algunos números como π y e,…, etc.

Números reales (®)

Conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales. El conjunto de los números reales se representa por N〖⊂N〗_0⊂Z⊂Q⊂®.

Además se cumple que: Q^c⊂®

1.1 AXIOMAS DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES

1.a+b=b+a,ab=ba

2.a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c.

3.a(b±c)=ab±ac.

4.a+0=0+a=a,a∙1=1∙a=a.

5.a+(-a)=-a+a=0,a∙a^(-1)=a^(-1)∙a=1,a≠0.

6.Si a+c=b+c entonces a=b

7.a∙0=0∙a=0.

8.Si a+b=0, entonces a=-b.

9.-(-a)=a.

10.Si ab=1 entonces b=a^(-1).

11.a^(-1)∙b^(-1)=(ab)^(-1).

12.(-a)b=-(ab),a(-b)=-(ab).

13.(-a)(-b)=ab.

14.a-b=a+(-b.)

15.-(a+b)=-a-b.

16.a÷b=ab^(-1),b≠0.

〖17.a〗^(-1)=1/a,a≠0.

18.a/b∙c/d=ac/bd,b,d≠0.

19.a/b∙d/d=a/b,b,d≠0.

20.a/b=c/d si y solo si ad=bc,b,d≠0.

21.a/b±c/d=(ad±bc)/bd,b,d≠0;a/b±c/b=(a±c)/b,b≠0.

22.Si ab=0 entonces a=0 o b=0.

23.Si ac=bc,c≠0 entonces a=b.

24. Uno y solo uno de los siguientes es verdadero:

a<b,a=b,a>b

25.Si ab=0 entonces a=0

26.Si a≠0 entonces a^2>0.

27.Si a>0 entonces -a<0.

28.Si a>b entonces a-b>0.

29.Si a<b entonces a-b<0.

30.Si a<b entonces b>a.

31.Si a>0 y b>0 entonces a+b>0.

32.Si a>b y b>c entonces a>c.

33.Si a>b, entonces a+c>b+c.

34.Si a>b y c>0 entonces ac>bc.

35.Si a>b y c<0 entonces ac<bc.

36. Si ab>0 entonces puede suceder que a>0 y b>0o que a<0 b<0 ; Si ab<0 entonces puede suceder que a>0 y b<0 o que a<0 b>0 (. Ley de los signos

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