Geometria
jico53811 de Marzo de 2014
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1. Teorema de Thales
Si una persona que mide 1,70 m proyecta una sombra de 3,40 m y el mismo día, a la misma hora y en el mismo
lugar la sombra de un árbol mide 15 m, ¿cuánto mide de alto el árbol?
Solución:
Se observa que el objeto mide la mitad que la sombra; por tanto, el árbol mide 15 : 2 = 7,5 m
P I E N S A Y C A L C U L A
Sabiendo que en el siguiente dibujo AB = 18 cm,
BC = 24 cm y A’B’ = 15 cm, halla la longitud del
segmento B’C’. ¿Qué teorema has aplicado?
Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos
midan 4 cm y 3 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo
en posición de Thales de forma que el cateto
mayor mida 8 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Dos ángulos de un triángulo miden 45° y 60° y
otros dos ángulos de otro triángulo miden 75°
y 60°. ¿Son semejantes ambos triángulos?
Solución:
El 3er ángulo del 1er triángulo mide:
180° – (45° + 60°) = 180° – 105° = 75°
Es decir, los ángulos del 1er triángulo miden:
45°, 60° y 75°
3
Solución:
r = 8 : 4 = 2
c’ = 2 · 3 = 6 cm
2
Solución:
—A’B’ B’C’ =—
AB BC
—15 B’C’ =—
18 24
B’C’ = 20 cm
Hemos aplicado el teorema de Thales.
1
A P L I C A L A T E O R Í A
A
a
b
c
r s
A'
B
B'
C
C'
c = 3 cm
A b = 4 cm B B'
C
C'
TEMA 7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 219
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2. Teorema de Pitágoras
¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?
a) 3, 4 y 5 b) 6, 7 y 8 c) 6, 8 y 10 d) 5, 12 y 13
Solución:
a) 32 + 42 = 52 b) 62 + 72 ? 82 c) 62 + 82 = 102 d) 52 + 122 = 132
Son ternas pitagóricas a), c) y d)
P I E N S A Y C A L C U L A
Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejantes.
Halla cuánto miden a’ y c’
En una foto están Ana y su madre. Se sabe que
Ana mide en la realidad 1,65 m. En la foto Ana
mide 6,6 cm, y su madre, 6,88 cm. ¿Cuánto mide su
madre en la realidad?
Un palo vertical de 1,75 m proyecta una sombra
de 2 m. Si la sombra de un edificio el mismo día, en
el mismo sitio y a la misma hora mide 24 m, ¿cuánto
mide de alto el edificio?
La superficie de una esfera es de 15 m2. Halla la
superficie de otra esfera en la que el radio mide el
triple.
Solución:
S’ = 32 · 15 = 135 m2
7
Solución:
—2 24 =—
1,75 x
x = 21 m
6
Solución:
—6,6 6,88 =—
165 x
x = 172 cm = 1,72 m
5
Solución:
r = b’ : b
r = 3 : 2 = 1,5
a’ = 1,5 · 2,5 = 3,75 cm
c’ = 1,5 · 3 = 4,5 cm
4
El 3er ángulo del 2º triángulo mide:
180° – (75° + 60°) = 180° – 135° = 45°
Es decir, los ángulos del 2º triángulo miden:
45°, 60° y 75°
Como los dos triángulos tienen sus ángulos iguales,
son semejantes.
b' = 3 cm
c = 3 cm
a = 2,5 cm
b = 2 cm
c'
a'
220 SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
En un triángulo rectángulo la altura relativa a la
hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes
1,5 cm y 6 cm. Halla la longitud de dicha
altura y dibuja el triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide
10 m y la proyección del cateto b sobre ella mide
3,6 m. Halla:
a) la longitud del cateto b
b) la longitud de la proyección del cateto c sobre
la hipotenusa.
c) la longitud del cateto c
d) la longitud de la altura relativa a la hipotenusa h
e) Dibuja el triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo los catetos miden
4,5 cm y 3 cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la
hipotenusa. Redondea el resultado a dos decimales.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5,5 cm,
y un cateto, 4 cm. Haz el dibujo y halla la longitud del
otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales.
Dibuja la interpretación gráfica del teorema de
Pitágoras en el caso en que los lados midan 6, 8 y
10 cm
Solución:
62 + 82 = 102 ò 36 + 64 = 100
12
Solución:
a2 = b2 + c2 ò c = √
—a
2 – b2
c = √
—
5,52 – 42 = 3,77 cm
11
Solución:
a2 = b2 + c2 ò a = √
—b
2 + c2
a = √
—
4,52 + 32 = 5,41 cm
10
Solución:
a) b2 = a · b’ ò b = √
—
a · b’
b = √
—
10 · 3,6 = 6 m
b) c’ = a – b’
c’ = 10 – 3,6 = 6,4 m
c) c2 = a · c’ ò c = √
—
a · c’
c = √
—
10 · 6,4 = 8 m
d) h2 = b’ · c’ ò h = √
—
b’ · c’
h = √
—
3,6 · 6,4 = 4,8 m
e) Dibujo
9
Solución:
h2 = b’ · c’ ò h = √
—
b’ · c’
h = √
—
1,5 · 6 = 3 cm
8
A P L I C A L A T E O R Í A
a
b
c
h = 3 cm
b' = 1,5 cm c' = 6 cm
b = 4,5 cm
c = 3 cm
a
b = 4 cm
a = 5,5 cm
c
6
10
102
82
62
8
a = 10 cm
b = 6 cm c = 8 cm
b' = 3,6 cm c' = 6,4 cm
h = 4,8 cm
TEMA 7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 221
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?
a) 2, 3 y 4 b) 3, 4 y 5
c) 4, 5 y 6 d) 5, 12 y 13
En una pirámide cuadrangular la arista de la base
mide 3 cm, y la altura, 4 cm. Calcula el área lateral
de dicha pirámide. Redondea el resultado a dos
decimales.
Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas
miden 8 m, 4 m y 3 m
Solución:
Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio:
D2 = 82 + 42 + 32
D = 9,43 m
15
Solución:
h2 = 1,52 + 42
h = 4,27 cm
A 3 · 4,27 L = 4 · ——— = 25,62 cm2
2
14
Solución:
a) 22 + 32 ? 42 ò No
b) 32 + 42 = 52 ò Sí
c) 42 + 52 ? 62 ò No
d) 52 + 122 = 132 ò Sí
13
3 cm
h
1,5 cm
4 cm
h
4 cm
D
8 m
4 m
3 m
3. Razones trigonométricas o circulares
Dado el ángulo a del dibujo:
a) aplica el teorema de Pitágoras y calcula mentalmente los segmentos OA’ y OB’
b) halla las razones siguientes y di si hay alguna relación entre ellas:
Solución:
a) OA’ = 5, OB’ = 10
b) —AA’ = —4 , —BB’ = —8 = —4
OA’ 5 OB’ 10 5
Las dos razones son iguales.
BB’
OB’
AA’
OA’
P I E N S A Y C A L C U L A
O A
a
A'
B'
B
222 SOLUCIONARIO
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Halla todas las razones trigonométricas del ángulo
a en el siguiente triángulo:
Dibuja un ángulo tal que sen a = 3/4
Dibuja un ángulo tal que cos a = 5/6
Calcula de forma aproximada el valor del sen a,
cos a y tg a en el siguiente dibujo:
Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo
a de 40° y aproxima, midiendo en el dibujo, el
valor del sen a, cos a y tg a
Calcula, usando la calculadora, el valor de las
siguientes razones trigonométricas. Redondea el
resultado a 4 decimales.
a) sen 32° b) cos 68°
c) tg 85° 40’ 8’’ d) sen 46° 35’ 12’’
Calcula, usando la calculadora, la amplitud del
ángulo agudo a:
a) sen a = 0,5765 b) cos a = 0,3907
22
Solución:
a) 0,5299
b) 0,3746
c) 13,2037
d) 0,7264
21
Solución:
sen 40° = 4/6,3 = 0,63
cos 40° = 4,8/6,3 = 0,76
tg 40° = 4/4,8 = 0,83
20
Solución:
sen a = 6,1/8 = 0,76
cos a = 5,1/8 = 0,64
tg a = 6,1/5,1 = 1,20
19
Solución:
18
Solución:
17
Solución:
sen a = 12/15 = 4/5 ò cosec a = 5/4
cos a = 9/15 = 3/5 ò sec a = 5/3
tg a = 12/9 = 4/3 ò cotg a = 3/4
16
A P L I C A L A T E O R Í A
12 cm
15 cm
9 cm
a
a
3 cm 4 cm
a
5 cm
6 cm
a
6,3 cm
40°
4 cm
4,8 cm
8 cm 6,1 cm
5,1 cm
a
TEMA 7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 223
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Sabiendo que sen a = 2/5, calcula cos a Sabiendo que sec a = 17/8, calcula tg a
Solución:
tg2 a + 1 = sec2 a
tg2 a + 1 = (—17)2
8
tg
...