Graficas y ecuaciones.

Gráficos y Ecuaciones

1. Resumen

        Se desea realizar representaciones gráficas de las relaciones que existen entre la masa y la longitud para el caso de los cilindros; la masa y el diámetro para el caso de los discos; la masa y el diámetro para el caso de las esferas. Y a través del método gráfico determinar la relación que existen entre esas variables.

        Se ha tomado como dato las magnitudes, anteriormente medidas, de los diferentes objetos, posteriormente se realizó las representaciones gráficas de dichas variables, a través de los distintos tipos de linealización.

        Realizando todo el proceso de graficación se pudo deducir las relaciones que existían entre las variables de los distintos objetos.

1. Objetivos

1. Desarrollar la capacidad para poder realizar las representaciones gráficas de las relaciones que existen entre las variables de los objetos.
2. Deducir las relaciones entre las variables de los objetos a través del método gráfico.

1. Fundamento Teórico

Gráficos y Ecuaciones

En física experimental, normalmente trabajamos con dos variables una llamada variable independiente (Xi ) que se representa en el eje horizontal,  y la otra llamada variable dependiente o variable de salida (Yi ) que se representa en el eje vertical. Ante los cambios de Xi, el sistema revela sus características o comportamientos a través de los cambios que sufre la variable Yi.

Un grafico es una adecuada representación grafica de los datos experimentales en un sistema de ejes perpendiculares sobre la base de una elección adecuada tanto de las variables como de las escalas de los ejes.

Esta relación visual puede describirse  a través de una ecuación conocida como relación funcional entre ambas variables.

Los gráficos tienen tres aplicaciones principales:

1. Sirven de Ayuda Visual.
2. Se usan para determinar el valor de alguna magnitud, por lo general la pendiente, o la intersección de una línea recta con el eje de las ordenadas.
3. Facilita la obtención de la ecuación empírica o relación entre ambas variables.

Escalas Lineales y No Lineales

Las escalas lineales son aquellas en las que distancias iguales representan cantidades iguales.

Las escalas no lineales son aquellas que construyen en base a un patrón de comportamiento que hace que distancias iguales no representen cantidades iguales ejemplo las escalas logarítmicas

Sugerencias para Dibujar Gráficos

Si se utiliza papel milimetrado:

1. Los puntos experimentales no deben quedar muy juntos. Se debe seleccionar una adecuada escala para que los puntos cubran razonablemente el espacio utilizado.
2. La escala debe ser sencilla.

Al representar los datos en un papel milimetrado obtenemos una “nube de puntos” por los cuales se trazara la curva que mejor los represente, y esta puede ser una línea recta o una curva, designaremos relación lineal a la serie de datos que se pueden ser representados por una línea recta y relación no lineal a los datos cuya representación es una curva, por ejemplo: una parábola, una hipérbola, etc. La ecuación matemática que se representa a estas relaciones en general se denomina relación funcional y puede determinarse mediante métodos gráficos o métodos analíticos.

Relación Lineal (Método Gráfico)

En una grafica lineal la línea recta que representa este comportamiento se trazara de modo que pase por la mayoría o cerca de los puntos, o de manera que estén igualmente distribuidos a ambos lados de la recta. Este método de ajuste es a “simple vista”.

El modelo matemático para un comportamiento lineal es la ecuación de la línea recta y la forma general es:

y = A + Bx

Donde A es la ordenada al origen y representa el valor de y cuando x = 0. B es la pendiente de la recta y se calcula mediante el cociente Δy/Δx, donde Δy es la diferencia de ordenadas y Δx es la diferencia de abscisas, de dos puntos cualesquiera que estén sobre la recta y representa el valor de la rapidez con que cambia y respecto a x.

Relación No Lineal (Método Grafico)

Las relaciones no lineales mas frecuentes y su modelo matemático correspondiente se muestra en la siguiente tabla:

 Entre las relaciones potenciales simples las más conocidas son:

Cuando en la representación de datos experimentales en coordenadas rectangulares no se obtienen líneas rectas, no es posible determinar directamente la relación funcional entre las variables que interactúan, entonces se busca un método (linealización) mediante el cual la relación entre los datos se convierta en una relación lineal, y a partir de la misma obtener la relación funcional entre las variables originales (ecuación de la curva).

Linealización por cambio de variable

Este método consiste básicamente en asumir un modelo para el comportamiento de los datos, realizando un cambio de variable o aplicando logaritmos al modelo asumido, la nueva grafica será lineal si el modelo asumido es el  adecuado, caso contrario la grafica no será lineal.

Linealización por Logaritmización

Función Potencial

Esta función tiene la forma general:

y = axb

Donde b puede tener cualquier valor: si b = 1 representa una recta, b = 2 una parábola, b = -1 una parábola, etc.

El método para linealizar este modelo de función consiste en aplicar logaritmos a ambos miembros de la ecuación obteniendo:

Log y = Log a + Log x

Haciendo los siguientes cambios de variable:

Y’ = Log y

A = Log a

B = b

X’ = Log x

Obtenemos:

Y’ = A + BX’

Que es la ecuación de una línea recta.

Determinación de los parámetros A y B de la curva

Existen dos métodos gráficos para el logro de este objetivo. El primero se basa en la logaritmización de los datos y su graficación en papel milimetrado. El segundo en la graficación de los datos originales en papel Log – Log (cambio de escala).

• Primer Método

Graficar en papel milimetrado Log y en función de Log x. Si la grafica es lineal los parámetros A y B se determinan de la siguiente manera:

A se lee en la grafica.

B se calcula por la relación:

B=Δ Log y/Δ Log x

Para escribir la ecuación de la función potencial que es la que nos interesa, determinamos los valores de a y b mediante las siguientes relaciones:

a = antilog(A)

b = B

• Segundo Método

Para este método se usa un papel doble logaritmo, en este papel representamos la variable independiente y la variable dependiente.

Considerando la ecuación:

Log y = Log a + b Log x

Para x = 1 la ecuación se reduce a

Log y = Log a

De donde a = y, como los valores de la variable dependiente se ha representado en el eje vertical, el valor de a se obtiene directamente de la grafica buscando la ordenada  correspondiente a la abscisa x = 1.

El valor de b se lo obtiene tomando en la grafica y-x (papel Log – Log) dos puntos que estén sobre la recta y realizando la siguiente operación:

b = (ly/Ly) / (lx/Lx)

Donde ly y lx son las diferencias de ordenadas y de abscisas de los dos puntos escogidos pero medidas en milímetros, Ly y Lx son las longitudes de los ciclos vertical y horizontal del papel logarítmico medidas también en milímetros. Si las longitudes de los ciclos son iguales la expresión se reduce a:

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