Guia para examen final de matematicas
Enviado por luly12 • 3 de Septiembre de 2015 • Apuntes • 5.217 Palabras (21 Páginas) • 217 Visitas
GEOMETRÍA
- VECTORES[pic 1]
Def. Es un segmento orientado caracterizado por tres elementos: dirección, dada por la recta que lo contiene, sentido que fija el orden en que se establecieron los puntos extremos y el módulo, que es la longitud del segmento elegido.
Como vectores podemos representar magnitudes como la fuerza (donde es imprescindible conocer la dirección y el sentido en el que actúa, además de su intensidad que estará representada por el módulo). También velocidades y aceleraciones (casos en que es necesario y fundamental definir la dirección y sentido de desplazamiento del móvil). Estos ejemplos, al igual que muchos otros, como intensidades de corriente, cantidad de movimiento, atracción gravitatoria o inducción magnética, constituyen las llamadas magnitudes vectoriales, las que junto a otro tipo de magnitudes como las escalares (áreas, volúmenes, etc.) o las tensoriales (tensiones, momentos de inercia) constituyen la herramienta de apoyo que la matemática brinda a ciencias como la física y especialmente al cálculo estructural. Las proyecciones del vector posición sobre los ejes se llaman componentes del vector y se designa [pic 2]si es tridimensional.
Definiciones y operaciones entre vectores tridimensionales.
Dados los vectores tridimensionales: [pic 3], [pic 4]
1) Igualdad entre vectores [pic 5]
2) Suma de vectores [pic 6]. (Da vector).
3) Producto entre un escalar y un vector: [pic 7] . (Da vector)
4) Un vector de módulo unitario se denomina versor. Designaremos con [pic 8]los versores en las direcciones x; y; z respectivamente. Esto es: [pic 9]
5) Un vector: [pic 10]quedará expresado por [pic 11].
6) Dado el vector se define su módulo por [pic 12](medida de la longitud del vector).
7) Sus cosenos directores resultan [pic 13][pic 14]
Donde [pic 15]son los ángulos directores.
8) Sean los vectores [pic 16]y [pic 17] se define producto escalar [pic 18] como: [pic 19] donde [pic 20] es el ángulo formado por los vectores [pic 21] y [pic 22]. El resultado es un escalar y se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él. (da por resultado un real = escalar)
Otra forma de obtener el producto escalar: [pic 23].
9) Angulo entre vectores : [pic 24]
10) Si dos vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo. [pic 25]
Ejemplo: los vectores bidimensionales (-4, 5) y (10 , 8) son ortogonales.
11) Si dos vectores son paralelos sus respectivas componentes son proporcionales: [pic 26]
Ejemplo: los vectores bidimensionales (3; -4) y (3/4 ; -1) son paralelos.
12) Proyección escalar del vector [pic 27]sobre el vector [pic 28] es un real=escalar y representa la componente del vector [pic 29] en la dirección del vector [pic 30]. Se obtiene : [pic 31]. Aplicación física. Calcular el trabajo de una fuerza no dirigida a lo largo de la línea de movimiento.
Ejemplos en general de aplicaciones físicas de operaciones entre vectores:
Fuerza resultante de varias fuerzas distintas aplicadas a un objeto. (suma de vectores).
Angulo de una fuerza resultante. Móvil que se desplaza, se puede averiguar: dirección de desplaz, velocidad, distancia del punto de partida, aceleración. Ver ejemplos en el primer párrafo de esta sección.
GEOMETRÍA
- CÓNICAS
Se generan a través de intersecciones de planos con la superficie lateral de un cuerpo geométrico regular que es el cono.
Éste se puede considerar engendrado por la rotación de una recta llamada generatriz, alrededor de un eje describiendo una circunferencia que es la curva directriz y manteniéndose siempre pasante por un punto fijo del eje, el cual constituye el vértice del cono. Éste vértice para nuestro caso se encuentra ubicado sobre la perpendicular a la circunferencia que pasa por su centro y constituye el eje de simetría del volumen considerado.
Dos conos unidos por sus vértices y con eje de simetría común. Reciben el nombre de conos cuádricos y su ecuación es
[pic 32]
Las intersecciones de planos con la superficie lateral del cono permiten obtener las curvas cónicas que a continuación se muestran:
CÓNICAS: lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia de cada punto del conjunto a un cierto punto fijo llamado FOCO está en relación constante a su distancia a una recta fija llamada DIRECTRIZ. La relación de las distancias o razón constante se llama EXCENTRICIDAD. [pic 33] | ||
HIPÉRBOLA Curva abierta de dos ramas. El PLANO es paralelo a dos generatrices | PARÁBOLA Curva abierta de una sola rama. El PLANO es paralelo a una generatriz. | ELIPSE (circunferencia como caso part) Curva cerrada. El PLANO corta a todas las generatrices. |
[pic 34] | [pic 35] | [pic 36] |
Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (FOCOS) es constante Si tomamos los focos [pic 37]y [pic 38]debe ser [pic 39]. O sea: [pic 40] Procediendo de manera análoga al caso de la elipse, llegamos a [pic 41] Llamando [pic 42]tenemos la ecuación de la HIPÉRBOLA [pic 43]Hipérbola con vértices sobre el eje X. Son [pic 44] La excentricidad es [pic 45] Si en cambio [pic 46]hipérbola con vértices en el eje Y. Si se efectúa una traslación de ejes a un origen la fórmula se transforma en [pic 47]Todo rayo de luz pasante por un foco del espejo hiperbólico emerge pasando por el otro foco. Esta propiedad ha sido usada en la construcción de telescopios reflectores. | Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto (FOCO) y de una recta (DIRECTRIZ). Si elegimos el foco [pic 48]y la recta [pic 49]entonces debe ser [pic 50]. O sea: [pic 51] Elevando al cuadrado y simplificando llegamos a la ecuación de la PARÁBOLA [pic 52] con vértice en el origen y foco en el eje "x". Parábola desplazada de vértice [pic 53]y eje de simetría paralelo al eje "x". [pic 54] Si se tratara de una parábola de vértice [pic 55]y eje de simetría paralelo al eje "y", puede verificarse que su ecuación resultará [pic 56] Una propiedad reflectora importante que se usa en los espejos parabólicos de los telescopios y en las antenas parabólicas de radar, es que los rayos emitidos desde el foco se reflejan paralelos al eje y los rayos que llegan al reflector paralelos al eje se reflejan pasando por el foco. | Una elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (FOCOS) es constante. Si los focos se ubican en [pic 57]y [pic 58]y llamamos 2a la suma de las distancias [pic 59], entonces las coordenadas del punto [pic 60]de la elipse resulta: [pic 61] Llamando [pic 62] tenemos la ecuación de la ELIPSE [pic 63] Elipse desplazada: [pic 64] A medida que "c" crece las elipses se van achatando y al cociente [pic 65] se lo llama EXCENTRICIDAD. Para las elipses [pic 66]y en el caso especial de la circunferencia la excentricidad es igual a cero. |
GEOMETRÍA
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