INVESTIGACION MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRAL

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.1 En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

• Media

• Media ponderada

• Media geométrica

• Media armónica

• Mediana

• Moda

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas.

Moda

La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.5 En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Por ejemplo, el número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide el intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal y y las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

La media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores.

Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:

niño nota

1 6,0 •Primero, se suman las notas:

2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6

3 3,1 •Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:

4 7,0 27,6/5=5,52

5 6,1

• La media aritmética en este ejemplo es 5,52

La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.2 Se le llama también promedio o, simplemente, media.

Definición formal

Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2, ..., xn, se define su media aritmética como

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:3

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

• Su valor es único para una serie de datos dada.

• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

entonces , donde es la media aritmética de los , para i = 1, ..., n y a y b números reales.

• Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

Mediana

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.7 Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:

Se toma como mediana

Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más númerosos (véase el artículo principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.

Cálculo de la mediana para datos agrupados

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho). Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas:

Ni-1< n/2 < i = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)

La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo (N par)

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2

xi fi Fi

1 2 2

2 2 4

3 4 8

4 5 13

5 6 19 = 19

6 9 28

7 4 32

8 4 36

9 2 38

Calculemos la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).

Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.

En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)

con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.

Propiedades e inconvenientes

Las principales propiedades de la mediana son:8

• Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.

• Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.

• No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

GRAFICOS O GRAFICACIÓN DEL PROCESO ESTADÍSTICO

INTRODUCCION

A continuación se le presentara la información sobre las medidas de tendencia central, en donde podemos encontrar lo que son las diferentes medidas que se encuentra en la misma como lo son: la media, la mediana y la moda son medidas descriptivas de tendencia central que sirven para analizar e interpretar datos cotidianos

Los siguientes datos corresponden a las evaluaciones de un alumno y con ellos se ejemplificará la obtención de la media aritmética, la mediana y la moda:

10,3,5,9,6,8,8,7,9,6,8, 7.

CONCLUSIÓN

Se puede establecer como conclusión sobre el tema de tendencia central, que es el conjunto de mecanismos que se tiene para el estudio de los métodos y procedimientos donde se dan los datos tabulados que ayudan a dar inferencias científicas partiendo de tales datos. Estos datos sirven para que todas las ramas de la ciencia donde se necesita llegar a dar conclusiones sobre situaciones; por medio de los datos se forman grupos describiéndolos con solo un número. Para tal fin no se utilizan los extremos sino que un valor más típico, el cual se encuentra en el centro. Este centro sirve para poder llegar a un punto medio donde se ubicaría el promedio o punto central de los datos descritos para poder establecer resultados como se puede ver a lo largo de la historia como es el caso de Mendel.

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