Integración Parcial

Índice

I. Integración Parcial

II. Integración Múltiple

2.1 Introducción

2.2 Definición

2.3 Propiedades

2.4 Integrales Iteradas

2.5 Área por Doble Integración

2.6 Integrales Dobles Como Volúmenes

2.7 Definición de Integral Triple

2.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

2.9 Cambio de Variables en una Integral Doble

Integración Parcial

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado

Ejemplo:

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

Veamos los siguientes casos:

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 0

2A - 2B = 1 , las soluciones son :

Quedando de esta manera:

con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguiente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Integración Múltiple

Introducción

En el tema sobre la integral definida unidimensional, hemos aprendido a calcular ´áreas y volúmenes. Ahora bien, por lo que se refiere al cálculo de volúmenes, aún no hemos dado respuesta al problema de encontrar el volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues sólo hemos visto cómo se determina el volumen de figuras con determinadas características. Vamos a ver, entre otras muchas aplicaciones, cómo la integral múltiple da respuesta general a este problema. Para facilitar el aprendizaje, en primer lugar, vamos a ocuparnos de la integral doble. Veremos que el desarrollo es, en líneas generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en buena medida, las definiciones y resultados resultarán familiares y se podrá avanzar con cierta rapidez. Posteriormente, nos ocuparemos brevemente de la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas aplicaciones de la integración múltiple.

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por y una región T en el plano es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.

Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un tal que

para toda partición de la región T (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y cuna constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

Si , entonces:

Si , entonces:

Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:

Integrales múltiples e integrales iteradas (la integral de una integral)

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra el procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.

Si la expresión ∫_a^b▒∫_c^d▒f(x,y)dydx se refiere a una integral iterada, la parte externa ∫_a^b▒〖….dx〗 es la integral con respecto a x de la función de x: g(x)=∫_c^d▒f(x,y)dy

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es □(24&dy)□(24&dx) ó □(24&dx)□(24&dy), y por lo general se calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene: ∫_a^b▒〖∫_c^d▒f(x,y)dydx≠∫_c^d▒∫_a^b▒f(x,y)dxdy〗

Definición de integral doble

Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida en una función en una variable. Para una función de dos variables; decimos:

Dada una función continua f(x,y) definida en una región rectangular a≤x≤b y c≤y≤d, construimos una suma de Riemann al subdividir la región de rectángulos más pequeños. Esto se hace subdividiendo cada uno de los intervalos a≤x≤b y c≤y≤d, en n y m subintervalos iguales respectivamente, y se obtienen nxm subrectángulos (figura 4).

Cada subrectángulo tiene un área ∆A=∆x.∆y, siendo ∆x=(b-a)/n y ∆y=(d-c)/m . Para calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor de la función en un punto del rectángulo y sumamos todos los números resultantes.

Si elegimos el valor máximo de cada función M_ij, obtenemos la suma superior: ∑_(i,j)▒〖M_ij ∆x∆y〗. La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de cada rectángulo L_ij. Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relación:

∑_(i,j)▒〖L_ij ∆x∆y≤∑_(i,j)▒〖f(x_i,y_j )∆x∆y≤∑_(i,j)▒〖M_ij ∆x∆y〗〗〗

Donde (x_i,y_j ) es cualquier punto del ij-ésimo subrectángulo.

Luego, definimos la integral definida como el límite para el número de subdivisiones n y m que

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