Integración mediante fracciones parciales

Cálculo Aplicado Crédito Extra
Profesor : José Fernández Salvador

Nicolás Romo

00204108

• Tema: Integración mediante fracciones parciales.
• Objetivo:

Mostrar como se integra una función racional expresándola primero como una suma de sus fracciones parciales.

• Concepto:

Definición de polinomio: Es una expresión algebraica que define el comportamiento de un movimiento o el comportamiento de variables dependientes de otras. Consta de distintas variables, las cuales por distintos métodos se podrán deducir. Entre esos métodos está La factorización.

Definición de Fracciones parciales: Estas están conformadas por polinomios, por lo general su denominador consta de un polinomio cuadrático. Este es un artificio matemático que se utiliza para resolver funciones racionales, por lo que estas se transcriben como suma de fracciones simples.

Relación de integración y fracciones parciales: En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones de fracciones polinómicas, con lo cual resulta extenso resolver por métodos convencionales. Es por esto que, transcribimos nuestra función como la suma de fracciones más simples y así poder integrar con formas de funciones elementales, que resultan más sencillas de integrar.

• Método:

Necesitamos resolver la siguiente integral:

[pic 1]

Paso 1: Expresar el denominador en forma factorizada, de forma que el denominador consiste solo en factores lineales.

[pic 2]

[pic 3]

Paso 2: A cada factor le corresponde una fracción parcial de la forma:

[pic 4]

                                                         Siendo “A” una constante

El número de fracciones parciales dependerá del número de factores lineales distintos. Entonces tendremos:

[pic 5]

Paso 3: Igualamos nuestra nueva función con la original, para obtener las ecuaciones que nos facilitaran las constantes.

[pic 6]

Paso 4: Para obtener la primera letra, multiplicamos toda la igualdad por el denominador de dicha letra, y debemos igualar el numerador de B a cero. En este caso, x = -1

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Paso 5: Se repite el paso 4 hasta obtener todas las letras.

[pic 10]

[pic 11]

Para eliminar la A, x = 1

[pic 12]

Paso 6: Reemplazamos los valores obtenidos.

[pic 13]

Paso 7: Ahora tenemos nuestra integral de la siguiente forma: 

[pic 14]

Paso 8: Separamos nuestra integral y sacamos las constantes:

[pic 15]

Paso 9: Ahora ya tenemos una integral conocida, por lo que la respuesta es la siguiente:

[pic 16]

• Ejercicio 1:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

• Ejercicio 2:

[pic 26]

[pic 27]

...