Intervalos

Intervalos

Intervalos finitos

Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o de una semirrecta.

El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = { x∈R | a < x < b }

El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos éstos dos puntos.

[a, b] = { x∈R | a ≤ x ≤ b }

El intervalo semiabierto incluye el extremo b y no el a.

(a, b] = { x∈R | a < x ≤ b }

El intervalo semicerrado incluye el extremo a y no el b.

[a, b) = { x∈R | a ≤ x < b }

Intervalos infinitos o semirectas.

(-∞, a) = { x∈R | x < a } Son los números reales menores que a.

(a, ∞) = { x∈R | x > a } Son los números reales mayores que a.

(-∞, a] = { x∈R | x ≤ a } Designan todos los números menores o iguales que a.

[a, ∞) = { x∈R | x ≥ a } Designan todos los números mayores o iguales que a.

Unión e intersección de intervalos.

La unión de dos conjuntos, A∪B, es otro conjunto que reune todos los elementos de A o los de B.

La intersección de dos conjuntos, A∩B, recoge sólo los elementos comunes a A y a B.

Propiedades

Dados los conjuntos de la recta real A, B y C, estas dos operaciones cumplen las siguientes propiedades:

Idempotente: A∪A=A A∩A=A

Conmutativa: A∪B=B∪A A∩B=B∩A

Asociativa: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

Propiedades que relacionan las dos operaciones:

Ley de absorción: (A∪B)∩A=A (A∩B)∪A=A

Ley distributiva: (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

Los intervalos son subconjuntos de R, por tanto, podemos efectuar las operaciones de unión e intersección sobre ellos y aplicar sus propiedades.

Ejemplos de unión e intersección de intervalos:

Sean A=(-2,4) y B=(2,5) dos intervalos de la recta real, su unión será A∪B=(-2,5), y su intersección será A∩B=(2,4)

Inecuaciones y sistemas

Inecuaciones de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, sistemas inecuaciones.

Notación de las inecuaciones

Para resolver las desigualdades es importante conocer lo que significa que algo es < menor que y > mayor que en estos casos el valor a estudiar no está incluido.

≤ menor o igual que y ≥ mayor o igual que en estos casos el valor a estudiar está incluido.

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Inecuaciones de primer grado

Las desigualdades de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, la solución va a cambiar dependiendo de la notación que tenga la desigualdad.

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas

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