Introduccion Al Calculo

INTRODUCCION AL CÁLCULO

CONJUNTOS NÚMEROS REALES (R)

Definición: Es todo número expresado en forma decimal.

Ejemplos:

-8=-8,0

3 = 3,0

1/2=0,5

√3=1,7…

2/3=0,6 ̂

3/5=0.6

Subconjunto importante de los números reales.

Naturales o de conteo= {1,2,3,…,+∞}

Los enteros no negativos= {0,1,2,3,..}

Enteros= {…-3,-2,-1,0,1,2,3,..}

Racionales= {a/b,a,b son enteros y b≠0}

División para cero: 3 casos.

(Cualquier número)/(≠de cero)= Respuesta única

12/3=4≡3x4=12

(≠0)/0 = No existe

12/0=t≡txo=12

0/0=Indeterminación

0/0=∛1,3=∛1,3 x0=0 Respuestas ∞

Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.

Ejemplos

9/2 = 4,5

3/8= -0,375

14/9= 1,5 ̂

2/3=0,6 ̂

1/2= 0,5

13/6=2,16 ̂

Conclusión: Todo número expresado en forma decimal o termina o es periódico.

Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódico.

Ejemplo

√2=1,4142…

√3=1,73205…

π=3,14159

e=2,178…

Observación: Por computadora se han extraído 20000 cifras decimales ni terminan ni hay periodos que el ordenador puede encontrar del numero π

ORDEN Y NOTACIÓN DE INTERVALOS

Sean a y b cualesquiera dos números reales.

Símbolo Definición Se lee

a>b a-b es positivo a mayor que b

a<b a-b es negativo a menor que b

a≥b a-b es positivo o cero a mayor o igual que b

a≤b a-b es negativo o cero a menor o igual que b

Los símbolos >,<,≥,≤ son símbolos de desigualdades

La recta numérica

Definición: Resulta de asociar los puntos de la recta con los números reales.

-∞ -2 -1 0 1 2 +∞

Intervalo acotados de números reales

Gráfico Notación desigualdad Notación del intervalo Tipo de intervalo Se lee

a b

a≤x≤b

[a;b]

Cerrado Todos los números entre a y b incluidos los extremos

a b

a≤x<b

[a;b)

Semi-abierto Todos los números entre a y b incluidos a

a b

a<x≤b

(a;b]

Semi-abierto Todos los números entre a y b incluidos b

a b

a<x<b

(a;b)

Abierto Todos los números entre a y b sin incluir los extremos

Intervalo no acotados de números reales

Notación intervalo Notación desigualdades Gráfico

[a;+∞)

x≥a

a +∞

(a;+∞)

x>a

a +∞

(a;+∞]

x≤b

-∞ b +∞

(a;+∞)

x<b

-∞ b +∞

Ejercicios de la guía No 1

Describa en palabras y grafique los intervalos de números reales

(-1;3] -1<x≤3 -1 menor que x, y x menor o igual que 3

-∞ -1 3 +∞

[2;7] 2≤x≤7 2 menor o igual que x, y x menor o igual a 7

-∞ 2 7 +∞

x≤7 (-∞;-7] x menor o igual que -7

-∞ -7 +∞

x es más grande que 3 y menor que 7 3<x<7 (3;7)

-∞ 3 7 +∞

4 es más pequeño o igual que x x≥4 [4; +∞]

-∞ 4 +∞

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición: Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación)

Jerarquía de operaciones

Suma

Resta

Multiplicación

División

Potenciación

Radicación

Nota: La jerarquía de operaciones se rompe cuando existen signos de agrupación ( ), [ ], { }, entre otros.

Término: Son cantidades separadas por signos + o -.

Propiedades de los números reales

Propiedad conmutativa

Suma: u+v=v+u

Multiplicación: uv=vu

Propiedad asociativa

Suma: (u+v)+w=u+(v+w)

Multiplicación: (uv)w=u(vw)

Propiedad de la identidad

Suma: u+o=u

Multiplicación: u•1=u

Propiedad distributiva

Multiplicación sobre la suma

u(v+w)=uv+uw

(u+v)w=wu+wv

Propiedad del inverso aditivo

Sea u o v números reales o expresiones algebraicas

Propiedad Ejemplo

-(-u)=u -(-2)=2

(-u)•v=u•(-v)=-(u•v) (-4)•3=4(-3)=-(4•3)=-12

(-u)•(-v)=u•v (-6)•(-8)=6•8=48

(-1)•(u)=-u -1(10)=-10

-(u+v)=(-u)+(-v) -(7+9)=(-7)+(-9)=-16

EXPONENTES ENTEROS

Exponente entero positivo

Definición: Si a es un número real y n es el número entero positivo entonces:

an=a•a•a•…a

n veces a

Exponente

Base an=b potencia n de a

Ejemplos

24=2x2x2x2=16

(-4)4=(-4)x(-4)x(-4)x(-4)=256

(1/4)^2=1/4 x 1/4

-32=-(3x3)=-9

-43=-(4x4x4)=-64

(-5)4=(-5)x(-5)x(-5)x(-5)=625

Exponente cero “0”

Definición: Si a es un número real ≠0: a0=1

Ejemplos

(-81)0=1

00= No existe

10240=1

Exponente negativo

Definición: Si a es un número real y n es un número entero

a^n=1/a^n

Ejemplos

2^(-3)=1/2^3 =1/(2∙2∙2)=1/8

〖(-3)〗^(-4)=1/((-3)∙(-3)∙(-3)∙(-3))=1/81

7^(-3)=1/(7∙7∙7)=1/343

(1/3)^(-2)=1/(1/3)^2 =1/(1/3∙1/3)=1/(1/9)=9

Principales teoremas de exponentes

an•an=an+n

a^n/a^m =a^(n-m)

(a•b)n=an•bn

(a/b)=a^n/b^n

(an)m=an•m

Ejemplos guía No 2

1311→13 es la base

153=15x15x15=3375

Notación científica

Se dice que un número x está escrito en notación científica si x=b•10n donde 1 ≤ b<10 y n es un entero. Está notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.

Ejemplos

8571=8,571 x 103

955030=9,55030 x 105

89316=8,9316 x 104

Exponente fraccionario

a^(m/n)=√(n&a^m )

2^(3/4)=∜(2^3 )=∜8

√2=2^(1/2)

RADICACIÓN

Definición de raíz n-sima

√(n&a)=a^(1/n) y cumple √(n&a)=b≡a=b^n

Ejemplos

∛8=2≡2^3=8

√(2&64)=8≡8^2=64

2^10=1024≡√(10&1024)=2

7^2=49≡√(2&49)=7

Definición de elementos de un radical

Índice de la raíz √(n&a)=b Raíz n-sima de a

Cantidad subradical

Ejemplo

∛64=≡4^3=64

Simplificación de radicales

Fundamento 1

√(n&a∙b)=√(n&a)∙√(n&b)

Ejemplo

√(2&12)=√(2&2^2 3)=2√3

Fundamento 2

√(n&a/b)=√(n&a)/√(n&b)

Ejemplo

√(9/4)=√9/√4=3/2

Nota: Las leyes de los radicales son las mismas de los exponentes.

Operación con radicales

Suma y resta de radicales

Fundamento: Para sumar o restar radicales se simplifica los radicales semejantes que son los que tienen igual índice e igual cantidad subradical.

Nota: El álgebra es una aritmética con letras o variables.

Si no se entiende algo en álgebra a veces conviene ver el mismo problema en aritmética.

Ejemplo

-2√8+9√27+5√8-6√12=

=-7√(2∙3^2 )+9√(3∙3^3 )+5√(2∙2^2 )-6√(3∙2^2 )

=-21√2+27√3+10√2-12√3

=-11√2+15√3≈-11∙1,41+15∙1,73

Multiplicación de radicales

Fundamento 1

√(n&a)∙√(n&b)=√(n&a∙b)

Ejemplo

√2∙√3=√(2∙3)=√6

Fundamento 2

√(n&a)/√(n&b)=√(n&a/b)

Ejemplo

∛4/∛2=∛(4/2)=∛2

Racionalización de radicales

En matemática no se acostumbra a dejar radicales en el denominador de una respuesta.

Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo

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