Inventarios

4.- Dado el problema de de inventario de múltiples productos

Min u(q_1,…,q_n )=∑_(j=1)^n▒〖(k_j*d_j)/q_j +c_j*d_j+1/2*h_j*q_j 〗

s.a.

∑_(j=1)^n▒〖a_j*q_j≤b〗

q_1,…,q_n≥0

Donde:

q_j=√((2*k_j*d_j)/h_j ) , ∀j=1,…,n

Parámetros:

k_j=costo de ordenar el producto j,también se le llama costo de set-up.

d_j=tasa de la demanda del producto j.

h_j=costo de mantener una unidad de inventario del producto j=p*c_j.

c_j=costo unitario del producto j.

p_j=tasa de interes por el item j.

.

a_j=capacidad del producto j.

b=capacidad máxima del inventario.

n=numero de productos.

Variables:

q_j=tamaño de la orden del producto j.

En donde la función objetivo tiene como finalidad minimizar los costos promedio de todos los productos cumpliendo la restricción de capacidad.

Se pide:

a.- Formular y modelar considerando una tasa de reposición r.

Debemos considerar que nos encontramos en un problema de reposición no instantánea, es decir, que existe una producción constante y un problema que no permite escasez (debemos satisfacer toda la demanda). Además, consideramos que no existe restricción de máquinas por lo que no existen los tiempos ociosos.

En el caso del modelo de inventario para un producto bajo una tasa de reposición constante y que no permite escasez, la función objetivo está dada por:

Min u(q)=(k*d)/q+c*d+1/2*h*q*(1-d/r)

Considerando:

q=√((2*k*d)/(h(1-d/r)))

r=tasa de reposición del producto.

Luego, para el modelo de inventario de múltiples productosconsiderando una tasa de reposición r, la formulación y el modelo quedan como sigue:

Min u(q_1,…,q_n )=∑_(j=1)^n▒〖(k_j*d_j)/q_j +c_j*d_j+1/2*h_j*q_j*(1-d_j/r_j )〗

s.a.

∑_(j=1)^n▒〖a_j*q_j≤b〗

q_1,…,q_n≥0

Donde:

q_j=√((2*k_j*d_j)/(h_j*(1-d_j/r_j ))) , ∀j=1,…,n

h_j=p*c_j , ∀j=1,…,n

b.- Diseñe una heurística que permita determinar una solución factible.

Seguiremos el mismo patrón de la heurística vista en clases con ciertas modificaciones la que quedará como sigue.

HEURÍSTICA

Paso 1: Determinar el tamaño del lote para cada producto de acuerdo a la formula:

q_j=√((2*k_j*d_j)/(h_j*(1-d_j/r_j ))) , ∀j=1,…,n

Ir sumando 〖a_j*q〗_j+a_(j+1)*q_(j+1)+〖a_(j+2)*q〗_(j+2)+⋯+〖a_n*q〗_n y comparar con la restricción de capacidad

∑_(j=1)^n▒〖a_j*q_j≤b〗

Si la restricción de capacidad es satisfecha, STOP. El lote óptimo para cada ítem ha sido determinado.

Si la restricción de capacidad no es satisfecha, continuar con Paso 2.

Paso 2: Incrementar la tasa de interés p en una cantidad β a ser determinada. El tamaño del lote a pedir para cada ítem será:

q_(j(β ))=√((2*k_j*d_j)/(〖(p+β)*c〗_j*(1-d_j/r_j ))) , ∀j=1,…,n

Determinar el valor de β que satisface la restricción:

∑_(j=1)^n▒〖a_j*q_j (β`)≤b〗

Despejando β:

β `=〖(1/b*∑_(j=1)^n▒(a_j*√((2*k_j*d_j)/(c_j*(1-d_j/r_j ) ))) )〗^2-p

Paso 3: con β` determinar el tamaño de lote para cada ítem y comparar con la restricción.

Una desviación de la heurística sería conservar el paso 1 y cambiar el paso 2, aumentando la velocidad de reposición. No podemos incrementar la tasa de reposición pues es dimensional, sin embargo al incrementar la velocidad lo hacemos sobre un numero adimensional.

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