LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION.

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:                  
a(a + b) = a2 + ab
(x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m2  - mn - n2 

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x2 y2  - 28x3 + 56x4

R: 14x2  (y2  - 2x + 4x2)           

Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7     =     R:  x3 (1 + x2  - x4)         

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2  + 50 ab3c3 - 200abc2= 

R:  50abc (2ab2 – 3bc  +b2c2 – 4c)       

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R:  (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

     (3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

     -z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

     ( a2 + 1)(a + b - 1)-1

     ( a2 + 1)(a + b  -1 -1)

      ( a2 + 1)(a + b  -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO

Ejemplo 1:

a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab)  +  (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am3 – 12 amn – m2  + 3n

= (4am3 – 12amn) – (m2 +  3n)

=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)

R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x

= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)

= (a2b3 + a2b3x2  – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)

= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)

R:   (1 + x2 – 3x) (a2b3 -  n4 )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a2 – 2ab + b2

Raíz cuadrada  de a2  = a

Raíz cuadrada  de b2   = b

Doble producto sus raíces

(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   

R: (a – b) 2

Ejemplo 2:

49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4

Raíz cuadrada  de 49m6  = 7m3  

Raíz cuadrada  de 25a2n4  = 5an2

Doble producto sus raíces

(2 X 7m3  X  5a2n2) =  70am3 n2  (cumple)   

R: (7m – 5an2)

Ejemplo 3:

9b2 – 30 ab + 25a2

Raíz cuadrada  de 9b2  = 3b  

Raíz cuadrada  de 25 a2= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b  X  5a) =  30ab  (cumple)  

R: (3b - 5a) 2

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada  de a2  = a  

Raíz cuadrada  de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a  X  (a – b) =  2a(a – b) (cumple)   

R: (a + (a – b)) 2

    (a + a – b) = (2a –b) 2   

Ejemplo 2: 

(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada  de (x + y)2  =(x + y)  

Raíz cuadrada  de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y)  X  (a + x)) =  2(x +y)(a + x) (cumple)   

R: ((x +y) – (a + x)) 2

    (x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 

Ejemplo 1:

X2 − y 2

x      y  = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

                R: = (x + y) (x− y) 

Ejemplo 2:

100m2n4 − 169y6

10mn2           13y3 =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia    

                           R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2− 13y3)

Ejemplo 3:

1 − 9a2b4c6d8

1       3 ab2c3d4    =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia     

                           R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1− 3 ab2c3d4)

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

(a − 2b)2 − (x +  y)2

  (a − 2b)      (x + y)   = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

          R: = ((a − 2b) + (x + y))  ((a − b) −  (x + y))

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