Casos De Factorizacion

La factorización es la operación matemática que permite descomponer un número o una expresión algebraica en dos o más factores.

La factorización de polinomios es el proceso mediante el cual un polinomio es expresado como producto de dos o más polinomios, de grado menor o igual que el suyo, llamados factores

Se dice que un polinomio está completamente factorizado cuando ninguno de sus factores puede ser factorizado.

Ejemplos:

a(a-1) = a2 – a a y (a – 1) son factores del polinomio a2 - a

(x-2)(x-5) = x2 – 7x + 10 (x – 2) y (x – 5) son factores de x2 – 7x + 10

Algunos casos de factorización de polinomios son:

Factor común

Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

a. (x + y) = a.x + a.y

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión a.x + a.y, basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

a.x + a.y = a. (x + y)

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión, 36x2 – 12x3 + 18x, será

36x2 – 12x3 + 18x = 6x(6x – 2x2 +3)

Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Diferencia de cuadrados

Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma

a2 – b2

En donde a y b son números reales. Las siguientes expresiones son ejemplos de diferencias de cuadrados:

25 – a2

m2 – n4

x2 – 1

Se dice que dos binomios son conjugados si difieren sólo en un signo. Ejemplos de binomios conjugados son:

a + b y a – b

3 + 2n y 3 – 2n

– m + k y – m – k

La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Nótese que el término que cambia de signo en los binomios conjugados es el correspondiente al término que se resta en la diferencia de cuadrados.

Así, si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero la raíz cuadrada de cada término de la diferencia y, posteriormente, construir con ellas el par de binomios conjugados necesarios para la factorización.

Ejemplo

Factorizar 36x2 – 9y4

El proceso se describe en las siguientes tablas:

Descripción Diferencia de cuadrados

Se obtiene la raíz cuadrada de cada término de la diferencia

36x2 – 9y4

6 x 3 y2

Descripción Binomios conjugados

Se construyen los correspondientes binomios conjugados

6x + 3y2 6x - 3y2

Por lo tanto, 36x2 – 9y4 = (6x + 3y2) (6x – 3y2)

Trinomio cuadrado perfecto

Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con 2 términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y de rectángulo (3ª + 4b)2

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es un trinomio cuadrado perfecto ya que:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:

El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

Dos de los términos son cuadrados perfectos.

El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

Un trinomio cuadrático general de la forma aX2 + bX + c es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad b2 – 4ac es siempre igual a 0

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: a2 – 2ab + b2, donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Ejemplo

Sea:

12xy + 9x2 + 4y2

Ordenando según las normas del álgebra, de más a menos X, resulta que:

9x2 + 12xy + 4y2

Y podemos darnos cuenta de:

9x2 = (32) (x2) = (3x)2

4y2 = (2y)2

12xy

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