Los Principios de suma.

Principio de la suma.

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

                        m+n  maneras

Ejemplo:

1¿Cuántas palabras de tres letras se pueden tomar en cinco consonantes y tres vocales de modo que cada una palabra comience y termine en consonante?

                   5*3*4=60(regla del producto)[pic 1][pic 2][pic 3]

Permutación.

 A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se utiliza para determinar el número de  posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos.

Un arreglo o posición de objetos seleccionados de un grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a,b,c y b,a,c son permutaciones diferentes.

La fórmula que se utiliza para contar el número total permutaciones distintas es:

nPr=n(n-r)

1.-Encontrar la probabilidad de que en una tirada de un dado resulte impar.

X=casos favorables

N=casos posibles

D=Dr(G)=  = 3/0[pic 4]

2.-En una hay ocho bolas blancas y cinco negras ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola sea negra?

8+5=13[pic 5]

3.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado una sola vez no salga ni el tres ni el dos?

 = [pic 6][pic 7]

Técnicas de conteo.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

• La técnica de la multiplicación.
• La técnica aditiva.
• La técnica de la suma.
• La técnica de la permutación.
• La técnica de la combinación.

Principio de la multiplicación.

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento puede suceder de n1 maneras diferentes el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento ocurren E1 y E2… y Ep es igual al producto.

N1xN2x…..xNr maneras o formas.

Principio aditivo.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas puede ser realizadas de N maneras o formas, la segunda alternativa puede ser realizarse de N maneras o formas…. Y la última actividad puede ser llevada a cabo de M+N+……+W maneras o formas.

Si A={2,3,4,5,6}

     B={4,5,6,7,8}

AᴗB

AᴖB

Probabilidad de un evento.

Consideremos el evento de lanzar un dado

S{1,2,3,4,5,6}

A=cual es la probabilidad de obtener un numero par  A={2,4,6}=[pic 8]

B= cual es la probabilidad de obtener un número mayor que 4 B={5,6}[pic 9]

AᴗB  AᴖB

AᴗB={2,3,4,5,6,7,8}

AᴖB={4,5,6}

Una bolsa contiene 5 canicas rojas 7 azules y 10 verdes se extraen al azar, cual es la probabilidad de que sea roja o azul.

6

12[pic 10]

22

11

Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho rojo de una bolsa que contiene 5 pares de guantes rojos y 5 pares de guantes negros.

5/20=4

Una bolsa que contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20 si se saca una al azar ¿Cuál será la probabilidad de que esta sea múltiplo de cuatro?

5/20=1/4

Probabilidad clásica.

P=Pr{G}=x/n

P=probabilidad de que el evento ocurra

Pr=probabilidad del evento

G=evento o realizar

X=la condición del evento

N=probabilidades totales del evento

Ecuación de que el evento sea un fracaso

a=Pr{n o G}=1-Pr{G}

a=probabilidad de que el evento no ocurra

Pr=probabilidad del evento

N.G=evento a realizar

Obtener las siguientes factoriales.

1. 8!+5 8x6x5x4x3x2x1=40320!

5x4x3x2x1=120!

40320+120=40440

1. 7/3! 7x6x5x4x3x2x1=840

3x2x1=

• Permutaciones
• Permutación circular
• Permutaciones con repetición
• Permutaciones sobre un anillo
• 2 ejemplos de cada una y sus formulas

Permutación

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

[pic 11]

Ejemplo: 

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

PERMUTACIONES CIRCULARES

Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar alrededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?

Observemos los siguientes arreglos:

[pic 12]

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente[pic 13].

Ejemplo:

 ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?

Solución: 2! ´ 3! = 2 ´ 6 = 12

[pic 14]

El número de formas en que podemos sentar a los 3 mujeres alrededor de una mesa circular, dejando un lugar en medio es 2!. Obsérvese que el primer renglón de círculos, los seis arreglos diferentes tienen a M[pic 15]M[pic 16]M[pic 17] siempre en la misma posición; y en el segundo renglón, los seis arreglos tienen a M[pic 18]M[pic 19]M[pic 20]siempre en la misma posición; por ello son sólo dos arreglos de las tres mujeres, dejando un lugar en medio. Hay 3! = 6 formas de sentar a los tres hombres por cada uno de los dos arreglos de mujeres; quedando así en forma alternada.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Veamos otra aplicación del principio de la multiplicación. Supongamos que tenemos 20 niños de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. ¿De cuántas formas diferentes podemos servir un helado a 20 niños?

Al primer niño le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo niño también le podemos servir los 10 sabores, al tercero también, y así sucesivamente. A cada uno de los 20 niños le podemos servir de los 10 sabores, por lo que  

[pic 21]= nr

Ejemplo:

 ¿De cuántas formas podemos contestar un examen de 12 preguntas de opción múltiple, si cada pregunta tiene 5 alternativas de respuesta; pero no sabemos cuál es la combinación correcta, ¿cuál es el número máximo de intentos que podemos realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

Solución: Para responder cada una de las preguntas del examen, tenemos 5 alternativas, y son 12 preguntas, por lo que

5 ´ 5 ´ 5 ´ ¼ ´ 5 (doce veces el 5)

= [pic 22]

Este es el número total de formas de contestar el examen, sin embargo una de ellas es la que tendría las doce respuestas acertadas, de tal forma que hay 512 -1 formas de responder el examen donde hay al menos una incorrecta.

...