MATEMATICAS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NORORIENTAL “GRAN MARISCAL DE AYACUCHO”

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

ESCUELA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

CATEDRA: MATEMÁTICA III

ALGEBRA MATRICIAL

Barcelona, de Junio del 2014

ÍNDICE

PORTADA I

DESARROLLO 3

DEFINICIÓN Y TIPOS DE MATRICES 3

SUMA Y RESTA DE MATRICES 8

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ 9

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 10

MATRIZ INSUMO PRODUCTO 11

MÉTODO DE GAUS 23

BIBLIOGRAFÍA 27

MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos. En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz. Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros.

Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

(2 3 -1)

Matriz Columna

La matriz columna tiene una sola columna

-7

-2

6

Matriz Rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz Cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la foma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forma los elementos con i+j=n+1.

Matriz Nula

En una matriz nula todos los elementos son 0.

Matriz Triangular Superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son cero.

Matriz Triangular Inferior

En una matriz triangular Inferior, los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos o cero.

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz Identidad o Unidad

La matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son igual a uno (1).

Matriz Transpuesta

Dada una matriz A se le llama matriz transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(a . A)t = a + At

(A . B)t = Bt . At

Matriz Rectangular

Una matriz rectangular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz Singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz Idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A .

Matriz Involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I .

Matriz Simétrica

Una matriz simétrica es matriz cuadrada que verifica:

A = At

Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica, es matriz cuadrada que verifica:

A = - At.

Matriz Ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica

A . A = I.

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma y resta de de matrices solo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas.

La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Propiedades de la Suma de Matrices

• Interna: la suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

• Asociativa: A + (B +C) = (A + B) + C

• Elemento Neutro: A + 0 = A. Donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

• Elemento Opuesto: A + (-A) = 0. La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

• Conmutativa: A + B = B + A

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Propiedades de de la Multiplicación de un Escalr por una Matriz

Sean A y B matrices y c y d escalares:

• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

• Asociatividad: (cd)A = c(dA)

• Elemento Neutro: 1•A = A

• Distributividad:

o De escalar: c(A+B) = cA+Cb

o De matriz: (c+d)A = cA+dA

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas

• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

MATRIZ INSUMO PRODUCTO

Es una tabla de doble entrada que incorpora en forma detallada la información sobre los procesos de producción, consumo y distribución de la riqueza generada en un período dado de tiempo (generalmente un año).

Este tipo de representación esquemática se deriva del Tableau Economique de Quesnay. Los fisiócratas veían en esta tabla una herramienta fundamental para el análisis de la circulación del excedente económico desde los agricultores hacia el resto de la población.

Para el caso de una economía sin sector público y sin sector externo, la comprensión de la matriz es bastante sencilla. Horizontalmente se leen las ventas por sector (finales o intermedias) o las diferencias sectoriales en la remuneración a un mismo factor productivo. Verticalmente se aprecian las compras y pagos de los distintos sectores.

En las filas de la matriz se presentan los distintos sectores, el total de compras intermedias y las retribuciones a los factores productivos. Las últimas dos filas corresponden al Valor Agregado (suma de las remuneraciones a los factores productivos) y al Valor Bruto de Producción (VA más TCI).

En las columnas junto a la estructura sectorial (que incluye una columna con el total de ventas intermedias) hallamos a los

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