MEDIDAS DE DISPERCION

Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas.

Desviación media (Dm):

Es la forma como se dispersan los datos con relación a la media aritmética.

Es la media de las desviaciones absolutas y es un resumen de la dispersión. Se expresa, de acuerdo a esta fórmula:

Desviación media para datos agrupados:

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

xi fi xi • fi |x - x| |x - x| • fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428

21 457.5 98.57

La Varianza S2:

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi • fi xi2 • fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza

1. La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho numero.

4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1. La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3. La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

Desviación típica(S):

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

...