MODELOS DE DISTRIBUCION CONTINUOS
Vicente BrevisApuntes7 de Marzo de 2018
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GUIA N ° 11 .- MODELOS DE DISTRIBUCION CONTINUOS
1.- DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD UNIFORME: Sea X una v.a. continua la más simple de ellas La distribución tiene forma rectangular y queda definida por valores mínimos y máximos.
La función de densidad es; f(x) = [pic 2] si a [pic 3] x [pic 4] b
- en otro caso
Función de distribución acumulada: Se obtiene integrando f(x)
F(x) = [pic 5] = [pic 6]t [pic 7] = [pic 8] - [pic 9] = [pic 10]
0 si x < a
F(x) = [pic 11] si a [pic 12] x < b
1 si x [pic 13] b
Media de la distribución: E(x) = [pic 14] = [pic 15] = [pic 16]
Varianza de la distribución V(x) = [pic 17]
Ejercicios 1:-Distribuciones Uniformes
El tiempo de vuelo de una aerolínea comercial de Sgto. a Concepción , varia de 60 a 120 minutos. La X v.a. es el tiempo de vuelo dentro de este intervalo
Ejercicio 2: Suponga que X v.a.c, tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [- 1 , 1]. Determine la media, varianza y desviación standards. R/ 0 ;1/3; 5,773502692
II .- DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL
Sea X v.a.c. con recorrido en IR y parámetros [pic 18] y [pic 19], sigue una distribución normal
( X N([pic 21] ; [pic 22])) o distribución Gaussiana, si su [pic 20]
Función de densidad es f(x) = [pic 23] si [pic 24]x <[pic 25]
Se representa gráficamente mediante la Curva Normal [pic 26]
Características de la Curva Normal;
1.- Tiene forma de campana y tiene una sola cima, en el centro de
la distribución. La Media Aritmética, Mediana y Moda son
igua- iguales y se ubican en el centro, por lo tanto la mitad del área
por bajo de la curva está a la derecha de su punto central y la otra
mitad a la izquierda.
2.- Es simétrica respecto a la Media (es decir ambas áreas son iguales)
3.- La distribución es asintótica, es decir la curva se acerca más y más al eje X pero no la corta.
4.- El área bajo la curva es igual a 1 , es decir , [pic 27]
Si X N([pic 29] ; [pic 30]) entonces E(x) = [pic 31]y varianza V(x) = [pic 32][pic 28]
TIPOS DE POSICIONES DE LA CURVA NORMAL
1.- Medias iguales y desviaciones diferentes.
2.- Medías diferentes y desviaciones iguales.
3.- Medias y desviaciones diferentes
3.1 .- DISTRIBUCION NORMAL STANDARD
Existe una infinidad de curvas normales, dependiendo del valor de [pic 33] y [pic 34], por ello no se puede hacer tablas, pero si se hace [pic 35] = 0 y [pic 36] = 1 y con estas condiciones se obtiene la Distribución Normal Standardizada
Cualquier distribución Normal se puede convertir en una distribución Normal Standard mediante la fórmula:
Z = [pic 37] donde “ z” expresa la distancia o diferencia entre un valor particular y la media en unidades de Desviación Standard, con x = valor de la observación; [pic 38] = media de la distribución y [pic 39]= desviación de la distribución
Si x = [pic 40][pic 41] z = 0
- “z “ será positivo si “x” toma valores a la derecha de la [pic 42]
- “z “ será negativo si “x” toma valores a la izquierda de la [pic 43]
Ejemplo 1.- Los ingresos semanales de supervisores de turno en la Industria de la Minería tienen una distribución normal de media US$ 1.000.- y una Desviación Standard de US $ 100 ¿Cuál es el valor de “z” para el ingreso X de un supervisor que percibe US$ 1.100 a la semana y para un supervisor que gana US$ 900
La Regla Empírica: Hay que considerar 3 áreas importantes, bajo la curva normal
1.- Alrededor del 68 % del área por debajo de la curva normal se encuentra dentro de una Desviación Standard de la Media (esto es [pic 44][pic 45] 1 [pic 46]).
2.- Aproximadamente el 95 % del área por debajo de la curva normal se encuentra dentro de dos Desviación Standard de la Media (esto es [pic 47][pic 48] 2 [pic 49]).
3.- Prácticamente la totalidad del área por debajo de la curva normal se encuentra dentro de tres Desviación Standard de la Media (esto es [pic 50][pic 51] 3 [pic 52]).
[pic 53]
Ejemplo 2: Como parte de un programa de aseguramiento de la calidad de la Compañía AABB realiza pruebas sobre la vida útil de las baterías. La vida media para una batería de tipo celda alcalina es de 19 horas. La vida útil de la batería sigue una distribución normal con una desviación standards de 1,2 horas. Responda
2.1.- Dentro de que par de valores se encuentra el 68 % de las baterías R/[ 17.8 ; 20.2]
2.2.- Dentro de que par de valores se encuentra el 95 % de las baterías R/[ 16.6 ; 21.4]
2.3.- entre que valores se encuentran todas las baterías.R/[ 15.4 ; 22.6]
Aplique a los resultados la regla empírica
MODELOS PARA ENCONTRAR EL ÁREA BAJO LA CURVA;
i) P( Z[pic 54] z) ii) P( Z > z ) = 1 - P( Z[pic 55] z) iii) P( Z[pic 56] - z) = 1 - P( Z[pic 57] z)
iv) P(Z > - z) = P (Z < z) v) P ( z 1 < Z < z 2 ) = P( Z < z 2) - P( Z < z 1)
vi) P ( - z 1 < Z < z 2 ) = P( Z < z 2) - P( Z < - z 1) = P( Z < z 2) - [ 1 - P( Z < z) ]
vii) P(- z 1< Z
Ejemplo 4.- Encontrar las siguientes probabilidades (uso de tablas)
4.1.) P( Z < 1.23 ) = 4.2) P( Z > 0.42 ) = 1 - P( Z[pic 58] 0.42) =
4.3) P(Z[pic 59] - 1.23) = 1 - P( Z[pic 60] 1.23) = 4.4) P(Z > - 2.3) = P (Z < 2.3)=
4.5) P( 1.3< Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z[pic 61] 1.3) =
4.6) P( -1.24< Z < 2.3) = P( Z < 2.3) - P( Z[pic 62] -1.24) = P( Z < 2.3) - [ 1 - P( Z < 1.24) ] =
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