Matematica

Introducción

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, cigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.

Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

1) Investigar como evoluciono el número a lo largo de la historia hasta llegar al conjunto de los números naturales:

Todas las culturas generalmente necesitan contar. Contar personas, días, objetos, distancias, productos, son acciones de la vida cotidiana, y por eso los números son esenciales para las sociedades. Los números no son más que los símbolos utilizados para contar.

Los niños empiezan a contar con los dedos, antes de estar familiarizados con los números, porque contar con los dedos es mucho más explícito que contar con símbolos gráficos, y por tanto más fácil de entender.

En el principio de la humanidad, las personas usaban los dedos para contar, o también cualquier objeto pequeño como piedras, palos, semillas o frutos. También se sabe que contaban haciendo pequeños nudos en cuerdas. Estos sistemas son útiles para contar pequeñas cantidades, pero cuando las cantidades aumentan considerablemente, como por ejemplo para representar 1.000 ó 2.000 o 10.000, estos métodos ya no son tan satisfactorios porque llevan demasiado tiempo y esfuerzo. De aquí deriva la necesidad de utilizar símbolos con los que se pueda contar cantidades grandes sin requerir un esfuerzo exagerado.

Diferentes culturas han creado diferentes sistemas de numeración.

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO

El Antiguo Egipto utilizaba un sistema aditivo basado en jeroglíficos, es decir, pictórico. Al ser un sistema aditivo, el orden de los símbolos no importaba, y por eso muchas veces no se escribían seguidos unos de otros, sino amontonándolos o creando figuras para embellecer el dibujo. Usaban los jeroglíficos de la figura:

Por cada unidad escribían una raya vertical, por cada decena un arco, por cada centena una espiral, y así seguían asociando a cada orden superior (millar, decena de millar, centena de millar y millón) un jeroglífico diferente. Así se completaban todas las unidades que fueran necesarias para escribir un número. Por ejemplo, si se quiere escribir 1.576, se pondría el jeroglífico que representa 1.000, más 5 jeroglíficos de 100, más 7 de 10 más 6 unidades. Se podía cambiar la orientación de los símbolos, y escribirlos en cualquier dirección. Más tarde se introdujeron símbolos específicos para algunas de las cifras más utilizadas como 20, 30…, 200, 300…, 2000, etc. para agilizar la escritura de los números y no tener que escribir tantos símbolos. Con la conquista de Egipto por el imperio romano hacia el siglo I a.C. los números egipcios fueron sustituidos por los griegos y romanos, si bien ya antes su uso se había reducido a monumentos, siendo utilizada en el día a día de los escribas la escritura hierática y demótica, más sencilla de hacer. Así que en resumen tuvieron dos sistemas, uno jeroglífico y otro hierático.

SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO

El primer sistema de numeración chino fue uno decimal, que con base 10, utilizaba los símbolos equivalentes a diferentes potencias de 10. Se calcula que este sistema data aproximadamente del 1.500 a.C.

Estos son los símbolos que se utilizaban:

Se aplicaba el principio de multiplicación entre los 10 primeros números y las potencias de 10 para conseguir los números, y el orden era muy importante, porque de otro podrían confundirse los números. Los símbolos deben escribirse en el orden del número que se quiera representar; primero las decenas, centenas, etc. y después las unidades concretas. Normalmente los números se escribían en grupos verticales, de arriba abajo, aunque

También se pueden ver escritos al estilo occidental, y según este método no es necesario poner ceros, pues el símbolo ya indica la potencia de 10 que indica el orden decimal; sin embargo, se han encontrado ejemplos en los que se prescindía del símbolo para la potencia de 10.

Después se desarrolló otro sistema, más moderno, posicional, casi igual al de hoy, que crearon los grandes sabios, que ya incluyó la aparición del 0 en el siglo VIII por influencia india, y que desde entonces sigue vigente.

SISTEMA DE NUMERACIÓN AZTECA

Los aztecas idearon otro sistema aditivo, utilizando como base el 20, y dando a los números un símbolo representando un objeto tomado de la vida cotidiana. Los símbolos eran dibujos, parecidos a los jeroglíficos egipcios, ideogramas, y cada uno representaba una idea propia y un concepto astronómico. A los símbolos aztecas también se les llama glifos.

Mediante la multiplicación se obtenía el número representado multiplicando el número de glifos iguales por la cifra correspondiente a la posición que ocupan, y después se sumaban los resultados.

Este sistema vigesimal fue el que hizo que los aztecas crearan una ciencia astronómica muy evolucionada. Consiguieron desarrollar un calendario, dividido en días, meses y años, extraordinariamente exacto para la época, en el cual, con los aparatos de mediación de hoy en día, se ha encontrado muy poco margen de error.

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seañadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.

Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer

...