Media, Mediana, Moda

Media, mediana, moda

y otras medidas

de tendencia central

NOTACiÓN DE íNDICES

Denotemos por Xj (léase "X sub l') cualquiera de los N valores XI' X2, X3"'" XN que toma

una variableX. La letrajenXj , que puede valer 1,2,3, ... , N se llama subíndice. Es claro que

es posible emplear cualquier otra letra en vez dej; por ejemplo, i, k, p, q o s.

El símbolo I1=1 Xj denota la suma de todos los Xj desde j = 1 hasta j = N; por definición,

N L Xj = XI + X2 + X3 + ... + X N

j=1

Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con Ix, IXj o I j J0.

El símbolo I es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma.

N

EJEMPLO 1 ?Xjlj = XI YI + X2Y2 + X3Y3 + ... + XNYN

}=¡

N N

EJEMPLO 2 ¿aXj = aX¡ + aX2 + ... + aXN = a(X¡ + X2 + ... + XN) = aLXj

~ . ~

EJEMPLO 3

donde a es una constante. Más simple: I aX = a Ix.

Si a, b y c son constantes, entonces I(aX + bY - cZ) = a Ix + b Iy - e Iz (véase el problema 3.3).

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valores

suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios

se conocen como medidas de tendencia central.

La media aritmética ponderada. 59

Se definen varios tipos. siendo los más comunes la media aritmética. la mediana. la

moda. la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas.

según los datos y el objetivo perseguido .

. •'.J..@$UUJiiUk$$)ii4 \ LA MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética. o simplemente media. de un conjunto de N números XI' X2• X3 ••••• XN

se denota por X (léase "X barra") y se define por

(1)

EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8. 3. 5.12 Y 10 es

X = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7.6

5 5

Si los números XI' X2 ..... XK ocurrenJ¡.h ... .• fK veces. respectivamente (es decir, con

frecuenciasJ¡.h •...• fK).la media aritmética es

(2)

donde N = Lf es lafrecuencia total (es decir. el número total de casos).

EJEMPLO 5 Si 5, 8. 6 Y 2 ocurren con frecuencias 3. 2.4 Y 1, en ese orden. su media aritmética es

X = (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 = 5.7

3+2+4+1 10

LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

A veces se asocia a los números XI' X2 ••••• XKciertosfactores de peso (o pesos) W¡. W2 ••••• WK•

dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso.

x = _\1....:.'1 X--'-I_+_W.::.2X----"-2 _+_.'_ '_+_W.::K_X...:k:.

W¡ +w2 + ... +WK

LWX

LW

(3)

se llama media aritmética ponderada con pesos J¡. h .... ./K' Obsérvese la similitud con la

ecuación (2). que puede considerarse una media aritmética ponderada con pesosJ¡,f2'" .,fK'

EJEMPLO 6 Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante

obtiene una calificación de 85 en el examen final. y 70 Y 90 en los dos parciales, la calificación

media es

X = (1)(70) + (1)(90) + (3)(85) = 415 = 83

1+1+3 5

\,

60 CAPíTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a su

media aritmética es cero.

EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 Y 10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8 -7.6,

3 -7.6, 5 -7.6, 12-7.6y 10-7.6, o sea, 0.4,--4.6,-2.6,4.4 Y 2.4, con suma algebraica 0.4-4.6- 2.6

+ 4.4 + 2.4 = O.

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj con respecto

de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27).

3. Si/¡ números tienen media m¡,A números tiene media ~, .. . ,fK números tienen media

mK, entonces la media de todos los números es

X =I¡m¡ + 12m2 + ... + IKmK

/1 +fz+•••+fK

(4)

es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problema 3.12).

4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número)

y si dj = Xj - A son las desviaciones de Xj respecto de A, las ecuaciones (1) y (2) se

convierten, respectivamente, en

(5)

(6)

donde N = ¿ ~=¡ h = ¿f. Observe que las fórmulas (5) y (6) se resumen en la ecuación

X = A + ¡¡ (véase el problema 3.18).

CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen

dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio

del intervalo. Las fórmulas (2) y (6) son válidas para tales datos agrupados y se interpretan

Xj como la marca de clase'h como su correspondiente frecuencia de clase, A como cualquier

marca de clase conjeturada o supuesta y dj = Xj - A como las desviaciones de ~ respecto de A.

Los cálculos con las fórmulas (2) y (6) se llaman métodos largos y métodos cortos,

respectivamente (véanse los problemas 3.15 y 3.20).

Si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño c, las desviaciones dj = Xj - A

pueden expresarse como cUj' donde uj serían números enteros positivos, negativos o cero, es

decir, O, ±1, ±2, ±3, ... , Y la fórmula (6) se convierte en

(7)

r

La moda. 61

que es equivalente a la ecuación X = A + cü (véase el problema 3.21). Esto se conoce como

método de codificación para calcular la media. Es un método corto y debe usarse siempre

para datos agrupados con intervalos de clase de tamaños iguales (véanse los problemas 3.22

y 3.23). Véase que en el método de codificación los valores de la variable X se transforman

en los valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu.

,LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es el valor central o la

media de los dos valores centrales.

EJEMPLO 8 El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 Y 10 tiene mediana 6.

EJEMPLO 9 El conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 Y 18 tiene mediana!C9 + 11) = 10.

Para datos agrupados, la mediana, obtenida por interpolación, está dada por

-- (L:!)¡

Mediana = L¡ + 2 c

(

N )

fmediana

(8)

donde: L¡ = frontera inferior de la clase de la mediana (es decir, la clase que contiene a

la mediana)

N = número de datos (es decir, la frecuencia total)

(2-/)¡ = suma de las frecuencias de las clases inferiores a la clase de la mediana

fmediana = frecuencia de la clase de la mediana

c = tamaño del intervalo de clase de la mediana

Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa), que corresponde a la recta

vertical que divide un histograma en dos partes de área igual. Ese valor de X suele denotarse

por X.

~MODA

La moda de una conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir,

el valor más frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única.

EJEMPLO 10 El conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9,10,10, 11, 12 Y 18 tiene moda 9.

EJEMPLO 11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 Y 16 carece de moda.

EJEMPLO 12 El conjunto 2, 3,4,4,4,5,5,7,7,7 Y 9 cuenta con dos modas, 4 y 7, Y se le conoce como bimodal.

La distribución con una sola moda se llama unimodal.

En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias, para

ajustar los datos, la moda será(n) el(los) valorees) de X correspondiente(s) al(os) máximo(s)

de la curva. Ese valor de X se denota por X.

La moda llega a obtenerse de una distribución de frecuencias o de un histograma a

partir de la fórmula:

Moda = L¡ + C~¡~¡~Jc (9)

62 CAPíTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

donde L¡ = frontera inferior de la clase modal (clase que contiene a la moda)

~¡ = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase inferior inmediata.

~2 = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase superior inmediata.

c = tamaño del intervalo de la clase modal.

;j(uu;q;:;¿;MPAtJlJi)Sb14UJQlt$§(i RELACiÓN EMPíRICA ENTRE MEDIA,

MEDIANA Y MODA

FIGURA 3-1

Para curvas de frecuencia unimodales, que sean moderamente sesgadas o asimétricas, se

tiene la siguiente relación empírica:

Media - moda = 3(media - mediana) (JO)

Las figuras 3-1 y ~-2 indican las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda

para curvas de frecuencia sesgadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente. Para

curvas simétricas, los valores de la media, la mediana y la moda coinciden.

FIGURA 3-2

LA MEDIA GEOMÉTRICA G

La media geométrica G de un conjunto de N números positivos X¡, X2, X3, ••• , XN es la raíz Nésima

del producto de esos números:

(11)

EJEMPLO 13 La medi'á'g~bmétrica de los números 2, 4 Y 8 es G = "V(2)(4)(8) = "V64 = 4.

Puede calcular G por medio de logaritmos (véase el problema 3.35) o con una calculadora.

Para

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