Media, Mediana, Moda
Enviado por saydatala • 9 de Julio de 2014 • 10.265 Palabras (42 Páginas) • 704 Visitas
Media, mediana, moda
y otras medidas
de tendencia central
NOTACiÓN DE íNDICES
Denotemos por Xj (léase "X sub l') cualquiera de los N valores XI' X2, X3"'" XN que toma
una variableX. La letrajenXj , que puede valer 1,2,3, ... , N se llama subíndice. Es claro que
es posible emplear cualquier otra letra en vez dej; por ejemplo, i, k, p, q o s.
El símbolo I1=1 Xj denota la suma de todos los Xj desde j = 1 hasta j = N; por definición,
N L Xj = XI + X2 + X3 + ... + X N
j=1
Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con Ix, IXj o I j J0.
El símbolo I es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma.
N
EJEMPLO 1 ?Xjlj = XI YI + X2Y2 + X3Y3 + ... + XNYN
}=¡
N N
EJEMPLO 2 ¿aXj = aX¡ + aX2 + ... + aXN = a(X¡ + X2 + ... + XN) = aLXj
~ . ~
EJEMPLO 3
donde a es una constante. Más simple: I aX = a Ix.
Si a, b y c son constantes, entonces I(aX + bY - cZ) = a Ix + b Iy - e Iz (véase el problema 3.3).
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valores
suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios
se conocen como medidas de tendencia central.
La media aritmética ponderada. 59
Se definen varios tipos. siendo los más comunes la media aritmética. la mediana. la
moda. la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas.
según los datos y el objetivo perseguido .
. •'.J..@$UUJiiUk$$)ii4 \ LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética. o simplemente media. de un conjunto de N números XI' X2• X3 ••••• XN
se denota por X (léase "X barra") y se define por
(1)
EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8. 3. 5.12 Y 10 es
X = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7.6
5 5
Si los números XI' X2 ..... XK ocurrenJ¡.h ... .• fK veces. respectivamente (es decir, con
frecuenciasJ¡.h •...• fK).la media aritmética es
(2)
donde N = Lf es lafrecuencia total (es decir. el número total de casos).
EJEMPLO 5 Si 5, 8. 6 Y 2 ocurren con frecuencias 3. 2.4 Y 1, en ese orden. su media aritmética es
X = (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 = 5.7
3+2+4+1 10
LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces se asocia a los números XI' X2 ••••• XKciertosfactores de peso (o pesos) W¡. W2 ••••• WK•
dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso.
x = _\1....:.'1 X--'-I_+_W.::.2X----"-2 _+_.'_ '_+_W.::K_X...:k:.
W¡ +w2 + ... +WK
LWX
LW
(3)
se llama media aritmética ponderada con pesos J¡. h .... ./K' Obsérvese la similitud con la
ecuación (2). que puede considerarse una media aritmética ponderada con pesosJ¡,f2'" .,fK'
EJEMPLO 6 Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante
obtiene una calificación de 85 en el examen final. y 70 Y 90 en los dos parciales, la calificación
media es
X = (1)(70) + (1)(90) + (3)(85) = 415 = 83
1+1+3 5
\,
60 CAPíTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a su
media aritmética es cero.
EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 Y 10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8 -7.6,
3 -7.6, 5 -7.6, 12-7.6y 10-7.6, o sea, 0.4,--4.6,-2.6,4.4 Y 2.4, con suma algebraica 0.4-4.6- 2.6
+ 4.4 + 2.4 = O.
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj con respecto
de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27).
3. Si/¡ números tienen media m¡,A números tiene media ~, .. . ,fK números tienen media
mK, entonces la media de todos los números es
X =I¡m¡ + 12m2 + ... + IKmK
/1 +fz+•••+fK
(4)
es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problema 3.12).
4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número)
y si dj = Xj - A son las desviaciones de Xj respecto de A, las ecuaciones (1) y (2) se
convierten, respectivamente, en
(5)
(6)
...