Numeros y Operaciones.

Números y Operaciones

Operaciones con números naturales

 Al análisis de las operaciones y las propiedades de las mismas que los alumnos/as ya han realizado anteriormente, se agregará la indagación de nuevas regularidades con el objeto de expresar su resultado en forma coloquial y simbólica que puedan validarse usando las propiedades conocidas. Para este fin se trabajará con tablas de suma y multiplicación.

Ejemplo:

1. En la siguiente tabla de la suma de números naturales

Se observan cuadros cuadrados en los que al sumar números de las diagonales se obtiene el mismo resultado:

         6 + 8 = 7 + 7                            3 + 5 = 4 + 4

         4 + 6 = 5 + 5

Completar los cuadrados pintados. Lo observado: ¿es válido siempre? Justificar la respuesta Analizar esta misma tabla para la multiplicación. Analizar en ambas tablas lo que sucede en cuadrados de 3x3

Divisibilidad

Se analizará la existencia de múltiplos y divisores de números naturales. Se establecerá el significado de las expresiones “números primos” y “números coprimos”, y se buscarán números primos, para los que se utilizarán distintos métodos. Se construirán estrategias para el cálculo de múltiplo común menor y divisor común mayor Se analizarán regularidades entre los múltiplos de un mismo número, con miras al establecimiento de algunos criterios de divisibilidad. Se realizarán factorizaciones diversas. Por ejemplo con factores no necesariamente primos, con factores no primos, con factores exclusivamente primos, etc.

La división por 2 permite una primera clasificación: números pares e impares que se suceden en alternancia en todo el ordenamiento de los naturales. Así si a es un número par, a+2 también lo es ¿lo será a+20?¿ Por qué? ¿Qué sucede si a es impar? También es importante analizar la conservación de la paridad en las distintas operaciones por lo que el docente deberá plantear a los alumnos/as para que investiguen interrogantes como: ¿La suma de dos números pares es par? ¿Y la de dos impares? ¿A qué se deberá? ¿Qué ocurre con la multiplicación? ¿Y la elevación al cuadrado? Se verá así que la suma no conserva la paridad mientras que la multiplicación y la potencia de exponente dos si lo hacen. Debe estimularse a los alumnos/as para que propongan otras cuestiones semejantes como: ¿qué ocurre con la suma de tres impares? ¿Y de cinco o seis? ¿Y en la resta de pares o impares cuando esta sea posible en N? ¿Y el triple de un par es par? ¿Y el doble de un impar?

La divisibilidad brinda la oportunidad de conocer los números amigos (la suma de los divisores de uno sin considerar el mismo número es igual al otro) como 220 y 284. 284=1+2+4+5+10+20+22+ 11+44+55+110 todos los sumandos son divisores de 220. 220=1+2+4+71+142 todos divisores de 284

De este modo un ejercicio que permite la revisión de divisor es por ejemplo: Mostrar que 1184 y 1210 son amigos como también lo son 2620 y 2924 5020 y 5564 Los alumnos/as con ayuda de la calculadora podrán factorear ambos números y sumar los divisores para obtener el otro. En cambio la búsqueda de números amigos exige un esfuerzo mayor. Se trata de un buen problema enunciado de manera simple pero su solución no es tan sencilla. Como caso particular se realizará la búsqueda de números perfectos como el 28 que es igual a la suma de sus divisores menores. 28= 1+2+4+7+14

Durante la búsqueda al analizar la suma de los divisores, surgirán los abundantes (cuando la suma de los divisores sea mayor que el número) y los deficientes (cuando la suma de los divisores sea menor). Se emprenderá la obtención de números con muchos divisores como el 60 que tiene 12 divisores. Encontrando respuestas a preguntas como:

• ¿Cuáles entre los primeros cien números naturales tienen mayor cantidad de divisores?
• ¿Cuáles son los números con una cantidad impar de divisores? ¿Qué característica y nombre tienen?

En cuanto a los números primos deberá revisarse el modo de reconocerlos para posteriormente analizar cuestiones como por ejemplo:

1. Cualquier número mayor que tres puede escribirse como suma de números primos

: 4= 2+2

5=2+3

 6=3+3

1.  Cuanto mayor es un número más números menores que él hay y por lo tanto hay mayor posibilidad de encontrarle divisores, entonces cuanto más me aleje del cero menos densidad de primos habrá.
2.  En el libro noveno de los Elementos de Euclides se plantea que la sucesión de primos es infinita, dado que siempre se puede encontrar un primo mayor.

2 x 3 +1= 7

2 x 3 x 5 +1= 31

2 x 3 x 5 x 7 +1= 211

2 x 3 x 5 x 7 x 11 +1= 2311

 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 +1= 30031

¿Pueden obtenerse todos los primos con este método? ¿Existe un último número primo?

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30021

Veamos que este no es un método para generar números primos ya que 30031 no es primo. Pero lo que podemos saber es que 30031 no es divisible por 2 ni por 3 ni 5 ni 7 ni 11 ni 13, sus factores primos serán mayores que 13. En efecto  30031 = 59 x 509.

Dado un número  2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x...x...x...p + 1 = n o bien n es un número primo mayor que p (como en el caso de 7, 31, 211, 2311) o bien sus factores primos son mayores que p como en el caso de 30031. Esto mostraría que no existe un último primo.

Trabajos como éstos acercan a los alumnos/as a la forma del razonamiento deductivo, a la búsqueda de contraejemplos mostrando que no es el cálculo el único interés de la enseñanza en esta etapa. En estas exploraciones el uso de la calculadora resulta indispensable para no desviar el objetivo de la actividad.

Se podrá proponer buscar ejemplos de la conjetura de Goldbach que propone que todo número par mayor que 6 y menor que 100.000 puede expresarse como suma de dos números primos.

6= 3+3

se podrán buscar formas de expresar

8=

10=

 12=

14=

 198 =

Este camino de búsqueda y exploración permite al docente proponer cuestiones que integren lo que se ha construido.

Si un número es primo ,¿es cierto que el anterior o el siguiente es múltiplo de 6?.

 Mostrar con por lo menos cinco ejemplos que todo natural par mayor que 4 es suma de dos números primos.

¿Cuáles son los naturales de tres cifras divisibles por 7 y 11?

Mostrar con ejemplos que al considerar un número natural, el siguiente del doble y su mitad son coprimos (no tienen divisores comunes distintos de 1).

Se estudiará además la potenciación (con exponente positivo) y radicación de números naturales estableciendo significados, usos y propiedades. También será este un momento adecuado para descubrir y demostrar las propiedades de la potenciación como producto y cociente de potencias de igual base, potencia de otra potencia, propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación y a la división. Propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación y a la división.

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