OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS.

NUMEROS COMPLEJOS

[pic 1]

NOTACION

Parte real de ‘z’: [pic 2][pic 3]

Parte imaginaria de ‘z’:

[pic 4]

COMPLEJO CONJUGADO

Si z=a+ib

Notación

[pic 5][pic 6][pic 7]

GRAFICAMENTE

[pic 8]

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

Suma y resta:[pic 9]

Producto[pic 11][pic 10]

EJEMPLOS

1. Hallar la suma, resta y producto de:

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

1. Hallarla parte real e imaginaria de los siguientes ejemplos:

1. [pic 20]

[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

1. [pic 26]

=[pic 27][pic 28][pic 29]

1. [pic 30]

[pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

 [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

REPRESENTACION POLAR DE
[pic 53][pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59][pic 60]

[pic 61][pic 62]

Ejemplo

[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

1. [pic 81]

[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

[pic 104][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

[pic 105]

[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

[pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]

[pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]

REPRESENTACION GRAFICA DE NUMEROS COMPLEJOS

[pic 127]

[pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147]

Ejemplo

1. Representar gráficamente el conjunto de valores tales que:

[pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161][pic 162]

[pic 163]

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

Transformaciones (mapeo) complejo
[pic 164]

[pic 165]Ejemplos:

Hallar u y v de:

[pic 209][pic 210]

[pic 211][pic 212][pic 213]

[pic 214][pic 215]

[pic 216]

[pic 217]

[pic 218][pic 219][pic 220][pic 221][pic 222][pic 223][pic 224]

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

[pic 225]

[pic 226][pic 227]

[pic 228]

[pic 229]

[pic 230][pic 231][pic 232][pic 233][pic 234]

[pic 235]

[pic 236]

[pic 237]

[pic 238][pic 239]

FUNCIONES HIPERBOLICAS

[pic 240][pic 241]

 [pic 242][pic 243]

IDENTIDADES HIPERBOLICAS

[pic 244]

[pic 245]

[pic 246]

[pic 247]

FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMETRICAS

[pic 248][pic 249][pic 250]

FUNCIONES INVERSAS HIPERBOLICAS

[pic 251][pic 252][pic 253]

FUNCIONES LOGARITMICAS

[pic 254][pic 255][pic 256][pic 257]

Ejemplo:

1. Hallar todos los valores de:

[pic 258][pic 259][pic 260][pic 261]

[pic 262][pic 263]

1. Hallar todos los valores y el valor principal de:

[pic 264][pic 265][pic 266]

[pic 267][pic 268][pic 269]

[pic 270][pic 271][pic 272]

1. Hallar todos los valores de:

[pic 273][pic 274][pic 275]

CONTINUIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS EN UN PUNTO

Se dice que f(z) es continua en z=a, si y solo si:

1. f(a) existe
2. lim f(z) existe

z→a

1. lim f(z)=f(a)

z→a

Ejemplos:

Hallar el límite de las siguientes funciones.

1.

[pic 276]

2.

7[pic 277]

3.

[pic 278]

4.

[pic 279]

5.

[pic 280]

6-   ======-=-=i[pic 281][pic 282][pic 283][pic 284][pic 285][pic 286][pic 287][pic 288]

7- ===[=(-2)(-2i)=4i[pic 289][pic 290][pic 291][pic 292]

8-  Ver si las siguientes funciones son continuas

A) f (z)={ [pic 293]

              {                [pic 294]

1) f (i)=0

2)[pic 295]

3)      [pic 296][pic 297]

B) f (z)= para toda "z" ver si es continua en z=i[pic 298]

1) f (i)=[pic 299]

2) [pic 300]

3)          [pic 301][pic 302]

C) f (z)= {      es continua en z=1[pic 303]

               { 3 ; z=1

1) f (1)=3

2) [pic 304]

3)         [pic 305][pic 306]

[pic 307]

   [pic 308]

1) f(z) =  ;   f(-1) = [pic 309][pic 310]

  2)[pic 311]

[pic 312]

     = =  ≠  3)f (z) = f (1)  f (z) en z=1 es continua.[pic 313][pic 314][pic 315][pic 316]

[pic 317]

        [pic 318][pic 319]

Ejemplo: Usar la definición de la derivada para hallar [pic 320]

1.

F (z)=   f (z)=   ; f(z+h)=[pic 321][pic 322][pic 323]

[pic 324]

2.

f(z)=z   f(z)=z, f(z+h)=z+h

[pic 325]

3.

f(z)= -2z  [pic 326]

f(z)=-2z[pic 327]

f(z+h)= -2(z+h)[pic 328]

[pic 329]

4.

F(z)=[pic 330]

[pic 331]

5.

F(z)=        F(z)=+h=  [pic 332][pic 333][pic 334]

 =  = [pic 335][pic 336][pic 337]

Propiedades

Si f (z) y g (z) son funciones complejas

           Suma y resta[pic 338]

       Multiplicación [pic 339]

          División [pic 340]

 [pic 341]

 [pic 342]

1) demostrar:

                  [pic 343][pic 344][pic 345]

]==[pic 346][pic 347][pic 348]

Ejemplo:

1) hallar  ; [pic 349][pic 350]

  ↔ ↔ 3[pic 351][pic 352][pic 353]

↔  ↔  ↔ = [pic 354][pic 355][pic 356][pic 357]

Ecuaciones de Cauchy-Reimann

Una condición necesaria para que f (z)=w sea analítica en una región R, es que en R, "u" y "v" satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Reimann

...