Operaciones con números complejos.
Yolisbel RengifoApuntes9 de Marzo de 2017
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Operaciones con números complejos
Objetivos de aprendizaje
∙ Sumar números complejos.
∙ Restar números complejos.
∙ Multiplicar números complejos.
∙ Encontrar conjugados de números complejos.
∙ Dividir números complejos.
Introducción
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
[pic 1]
Puedes sumar [pic 2] con [pic 3] porque ambos términos tienen el mismo radical, [pic 4], del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a [pic 5]. Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.
Ejemplo | ||
Problema | Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i) |
|
| −3 + 3i + 7 – 2i = −3 + 7 + 3i – 2i | Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes. |
Respuesta | −3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i | Combina los términos semejantes. |
Ejemplo | ||
Problema | Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i) | |
| (−3 + 3i) – (7 – 2i) = −3 + 3i – 7 + 2i | Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo. |
| −3 – 7 + 3i + 2i | Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes. |
Respuesta | −3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i | Combina los términos semejantes.
|
Restar. (5 + 3i) – (3 – i)
A) 2 + 4i
B) 6
C) 2 + 2i
D) 8 + 2i
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Multiplicando números complejos
De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x) | = | (5)( −3)(x)(x) |
| = | −15x2 |
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.
(5i)( −3i) | = | (5)( −3)(i)(i) |
| = | −15i2 |
Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más.
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.
[pic 6]
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a [pic 7].
[pic 8]
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1.
(5i)( −3i) | = | (5)( −3)(i)(i) |
| = | −15i2 |
| = | −15(−1) |
| = | 15 |
Ejemplo | ||
Problema | Multiplica. (3i)(2i) |
|
| (3i)(2i) = (3)(2)(i)(i) = 6i2 | Multiplica los coeficientes dei y luego multiplica i por i. |
| 6i2 = 6(−1)
6(−1) = −6 | Reemplaza i2 con –1.
Multiplica. |
Respuesta | (3i)(2i) = −6 |
|
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