OPTIMIZACION

MÉTODOS NUMÉRICOS DE OPTIMIZACIÓN:

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

1.- INTRODUCCIÓN: PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

Las condiciones de optimalidad discutidas en los capítulos anteriores forman la base

teórica para el desarrollo de varios algoritmos para la optimización de funciones con y sin

restricciones.

Los algoritmos para la optimización no lineal sin restricciones con múltiples variables se

pueden clasificar como: (i) Búsqueda sin el uso de derivadas (ii) búsqueda usando

información de la derivada primera, y (iii) búsqueda usando información de la derivada

segunda. Ejemplos típicos de que no usan derivadas son el método simplex, el algoritmo

de Hooke y Jeeves, el método de Rosenbrock y el método de las direcciones conjugadas.

Entre los algoritmos que usan información del gradiente están el método de máximo

descenso, el método del gradiente conjudado y los métodos cuasi Newton. El método del

máximo descenso realiza una búsqueda a lo largo de la dirección opuesta al gradiente

para minimizar la función. El método de gradiente conjugado combina la información del

último gradiente con la información de gradientes de iteraciones previas. Los métodos

cuasi Newton construyen una aproximación de la curvatura de la función no lineal

utilizando sólo información del gradiente, evitando por lo tanto calcular de forma

explícita la matriz hessiana. En el método de Newton, la inversa de la matriz hessiana

premultiplica a la dirección de máximo descenso y se encuentra una dirección adecuada

usando una aproximación cuadrática de la función objetivo.

En la optimización no lineal con restricciones los diferentes métodos pertenecen a las

clases: (i) métodos de penalización exterior. (ii) métodos de penalización interior

(barrera) (iii) métodos de proyección de gradiente. (iv) método de gradiente reducido

generalizado (v) programación lineal sucesiva (vi) programación cuadrática sucesiva.

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Simulación y Optimización de los Procesos Químicos

En el método de penalización exterior se añade un término de penalización para cada

violación de las restricciones de igualdad o desigualdad. El problema se transforma en un

problema sin restricciones o en una sucesión de problemas sin restricciones. Se genera

una secuencia de puntos no factibles. El parámetro de penalización se debe hacer lo

suficientemente grande para generar una secuencia de soluciones que nos acerquen al

óptimo desde puntos no factibles. Para evitar el mal condicionamiento derivado de tener

que hacer el parámetro de penalización infinitamente grande a medida que nos acercamos

al óptimo se desarrollaron las funciones de penalización exterior exactas. Estos métodos

tratan de conseguir el óptimo utilizando valores finitos del parámetro de penalización.

Las funciones de penalización exactas no diferenciables introducen los valores absolutos

de las restricciones de igualdad en la función objetivo. Las funciones de penalización

exterior exactas diferenciables suelen definir una lagrangiana aumentada añadiendo a la

lagrangiana original términos cuadráticos para penalizar las restricciones de igualdad y

desigualdad.

Los métodos de barrera transforman el problema original con restricciones en una

sucesión

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