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Definición[editar · editar código]

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

T(u+v) = T(u) + T(v) \,

T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.

Ejemplos[editar · editar código]

El mapeo B:\mathbb C\to \mathbb C que envía \alpha en \bar\alpha (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a \mathbb C como un \mathbb R-espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como \mathbb C-espacio vectorial, ya que B(i)=-i\neq iB(1) .

Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x, \forall x \in V, que resulta una transformación lineal.

Las homotecias: T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}. Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.

Dada una matriz A\in M_{n\times m}(K), la función L_A:K^m\rightarrow K^n definida como L_A(x) = Ax es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.

Sea V el conjunto de funciones continuas en ℝ y se define Φ: V → V mediante

Φ(f)(t) =

\int_0^t f(x)\,dx

Ocurre que:

\int_0^t (f(x) + g(x))\,dx

=

\int_0^t f(x)\,dx

+

\int_0^t g(x)\,dx

y

\int_0^t cf(x)\,dx

= c

\int_0^t f(x)\,dx

para c ∈ ℝ

Por lo tanto, se cumplen Φ(f +g) = Φ(f) + Φ(g) y Φ(cf)= cΦ(f) para todo f y g en V y todo c en ℝ, o sea que Φ es una aplicación lineal de V en V. 1

Propiedades de las transformaciones lineales[editar · editar código]

Véase también: Núcleo (matemática)

Sean V_{}^{} y W_{}^{} espacios vectoriales sobre K_{}^{} (donde K_{}^{} representa el cuerpo) se satisface que:

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de T_{}^{} de la siguiente manera:

\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}

\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que T(0_V) = 0_W (para probar esto, observar que T(0_V) = T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V) ).

Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)

Dados u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))

La

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