Optimizacion

APLICACIONES DE LA DERIVADA (continuación)

3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Cuando tenemos un problema en donde hay que encontrar los valores para los cuales una función tiene un valor máximo o mínimo, lo que debemos hacer es:

i. Encontrar la función a maximizar o minimizar. Esta función por lo regular está en términos de dos variables.

ii. Encontrar la relación entre las variables presentes en la función y despejar a una de estas variables. Esta relación siempre la podemos encontrar de los datos del problema.

iii. Escribir la función en términos de una sola variable.

iv. Derivar la función con respecto a su variable independiente.

v. Igualar la derivada con cero para encontrar los valores críticos.

vi. Reconocer, mediante el criterio de la segunda derivada, a los valores máximos o mínimos de la función.

vii. Interpretar los resultados.

Ejemplo 1 Sean dos números no negativos cuya suma es 10 y su producto máximo. Encuentra el valor de estos números y el valor del producto máximo

Para resolver este problema designemos a a y b las variables que representan a los números buscados y sigamos los pasos del recuadro anterior

i. La función a maximizar es ("su producto máximo")

ii. La relación entre a y b es ("cuya suma es 10") de aquí tenemos que

iii. La función queda, por lo tanto,

iv. Si derivamos P con respecto a b, tenemos:

v. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos para b , de donde

vi. Para saber si corresponde a un máximo o mínimo de la función P encontremos y por ser negativo para todos los valores de b entonces P tiene un máximo en .

vii. Entonces uno de los números buscados es 5. Para encontrar el otro valor usamos la igualdad del punto (ii) (en este caso los dos números resultaron iguales, aunque no siempre sucede así). Si queremos conocer el valor del producto máximo usamos la igualdad del punto (i)

Ejemplo 2 Un granjero tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular que limita con un río (no necesita cercar a lo largo del río). Hallar las dimensiones del terreno y su área máxima.

Aquí es necesario hacer un dibujo para tener claro el rectángulo que se debe formar

si x e y son las dimensiones del campo hay que tener en cuenta que sólo se van a cercar tres lados de esta superficie (2y y x). Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que:

i. La función a maximizar es ("del terreno de área máxima")

ii. La relación entre x y y es ("tiene 2400 pies de malla y desea cercar un campo rectangular ") de aquí tenemos que

iii. La función queda, por lo tanto,

iv. Si derivamos A con respecto a y, tenemos:

v. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos , de donde

vi. Para saber si corresponde a un máximo o mínimo de la función A encontremos y por ser negativo para todos los valores de y entonces A tiene un máximo en

vii. La longitud del lado perpendicular al río es de 600 pies. Para encontrar la longitud del otro lado (ii) . Con esto podemos decir que la longitud del lado del terreno paralelo al río es de 1200 pies. Por último, el área que encierra el terreno es (igualdad del punto i) pies al cuadrado.

Ejemplo 3 Considera dos números cuya suma es 15 y el producto de uno de ellos, con el cuadrado del otro, es mínimo. Obtener el producto máximo de ambos números.

Sean p y q los dos números. Siguiendo los pasos del recuadro tenemos que:

i. La función a maximizar es ("el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro")

ii. La relación entre p y q es ("cuya suma es 15") de aquí tenemos que

iii. La función queda, por lo tanto,

iv. Si derivamos M con respecto a q, tenemos:

v. Para encontrar los valores críticos igualamos la derivada con cero y resolvemos , de donde encontramos dos soluciones, a saber: y .

vi. Como tenemos dos valores críticos hay que usar el criterio de la segunda derivada para saber cuál corresponde al producto máximo y cuál al mínimo. Encontremos la segunda derivada . Evaluando esta segunda derivada en los valores críticos tenemos que para , , por lo que con tenemos el producto mínimo.

Para , , obtenemos el producto máximo. El valor de q que nos interesa

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