Optimizacion

1. La búsqueda de un óptimo

Lo expuesto hasta aquí implica haber logrado definir, para un determinado problema de diseño, tanto el esquema de proceso cuanto el modelo matemático que lo representa, así como un conjunto de variables independientes o de decisión que resultan las más adecuadas, teniendo en cuenta la complejidad del cálculo de la función objetivo.

La cuestión que se plantea ahora es como manejar el problema de optimización resultante -supuestamente siempre se tendrá un número positivo de grados de libertad- o, en otros términos, que valores habrán de darse a las variables de decisión para obtener el óptimo buscado.

Las distintas estrategias que pueden concebirse constituyen el desarrollo central de las Técnicas de Optimización, a las que se las suele agrupar en dos grandes capítulos: los Métodos de Optimización y las Programaciones.

Dentro de los primeros quedan englobadas vías de solución de tipo genérico, donde se tiene una escasa consideración acerca de la naturaleza matemática del problema cuyo óptimo debe encontrarse, privilegiándose más los aspectos "operativos" con los que el método pretende arribar a la solución. Las segundas, en cambio, son de aplicación restringida a determinado tipo de problemas, caracterizados ya sea por su formulación matemática o bien por la estructura del flujo de información.

En la literatura se habla de una Programación no lineal que, sintéticamente, se refiere a un problema que puede formularse como sigue

que no es otra cosa que el planteo más general posible de un problema de optimización.

Para esta clase de programación la vía de ataque son los métodos de optimización; con lo que, según lo dicho más arriba, habría una cierta contradicción. Esto no es más que aparente, habida cuenta de que, por lo inespecífico de la formulación, se ha perdido la característica básica que distingue a las programaciones.

El objetivo común a todos los métodos de optimización es, en esencia, obtener, con el menor número posible de evaluaciones de la función objetivo, una representación adecuada de la misma que permita determinar la ubicación del punto óptimo.

De lo dicho resulta claro que toda la problemática de estos métodos está directamente relacionada con aspectos propios del cálculo numérico como eficiencia y comportamiento del algoritmo frente a problemas mal condicionados, ámbito de convergencia y velocidad de la misma, etcétera.

Existe una cuestión básica que obliga a dividir el tratamiento de los métodos de búsqueda en dos grandes grupos, cuestión que se deriva de lo esencial de la determinación numérica de un extremo: un punto se dice óptimo -en sentido local, en rigor- cuando la función objetivo evaluada allí resulta ser mejor que en el entorno inmediatamente próximo.

Puesto en términos simbólicos

x* óptimo si F(x*) mejor que F(x) ; x*, x ε En y │x* - x│ = δ

lo cual, para una función objetivo que dependa de una sola variable de decisión implica la comparación con solo dos puntos, x*+δ y x*-δ, pero para otra que dependa tan solo de dos debería efectuarse el cotejo con los infinitos puntos de la circunferencia de centro x* y radio δ. Lo primero es numéricamente posible pero lo segundo no y, por lo tanto, habrá una sustancial diferencia entre los métodos de búsqueda de óptimo de funciones de una y dos o más variables de decisión.

Otra gran división que a la que se suele hacer referencia es entre métodos orientados hacia problemas sin restricciones y aquellos que son capaces de abordar esquemas restringidos. Aquí no se hará mayor hincapié en este punto ya que, en realidad, en lo que a diseño óptimo se refiere, todos los casos reales poseen restricciones.

2. Métodos para problemas de una variable

En este apartado se abarca una temática que excede el exclusivo planteo de un problema de diseño con una única variable de decisión.

Un concepto más acabado del tipo de cuestiones que abordan estos métodos es el de búsqueda unidireccional que abarca tanto los problemas ya mencionados como la resolución de otros, de dos o más variables, en base a una estrategia basada en definir direcciones, según un determinado criterio, y sobre ellas buscar el óptimo de la función objetivo.

Uno de los enfoques clásicos en métodos de búsqueda unidireccional es el concepto de eliminación de regiones, por el cual se procede a excluir del análisis subsiguiente espacios de búsqueda donde, se dice, no puede encontrarse el óptimo.

Esta idea está estrechamente asociada a la noción de unimodalidad cuyo significado es que en el ámbito de búsqueda solo debe existir un óptimo de la naturaleza buscada.

Fig. 4.2.1

En la figura 4.2.1 la función es unimodal si se está buscando un máximo -existe uno solo, el punto c- pero no lo sería si se buscase mínimo, pues hay dos en la zona de soluciones admisibles, los puntos a y b, los extremos del intervalo. Nótese que la unimodalidad no se ve afectada por la discontinuidad -de la función y su derivada- que se presenta en el punto d.

Simbólicamente, se puede decir que una función es unimodal si

siendo x1 < x2 y x* el punto óptimo

f (x1) es peor que f(x2) si x2 < x* y

f (x1) es mejor que f(x2) si x1 > x*

Si una función es unimodal se puede asegurar, calculándola solo en dos puntos, en que zona no puede encontrarse el óptimo y, por consiguiente, como ya quedara dicho, eliminarla del análisis. En la figura 4.2.2 los valores de la función calculados en x1 y x2 permiten presuponer comportamientos como los indicados en líneas de puntos, con lo que la zona x2-b deja de ser de interés. Nótese que los valores de la función podrían haberse encontrado en una situación inversa a la presentada ( f1 < f2 ) y en tal caso la zona excluida sería a-x1.

Puede observarse que:

1.- Se requieren, como mínimo, dos evaluaciones de la función objetivo para poder desechar una región;

2.- La ubicación de los puntos de cálculo debe ser simétrica respecto

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