Optimizacion

1. La búsqueda de un óptimo

Lo expuesto hasta aquí implica haber logrado definir, para un determinado problema de diseño, tanto el esquema de proceso cuanto el modelo matemático que lo representa, así como un conjunto de variables independientes o de decisión que resultan las más adecuadas, teniendo en cuenta la complejidad del cálculo de la función objetivo.

La cuestión que se plantea ahora es como manejar el problema de optimización resultante -supuestamente siempre se tendrá un número positivo de grados de libertad- o, en otros términos, que valores habrán de darse a las variables de decisión para obtener el óptimo buscado.

Las distintas estrategias que pueden concebirse constituyen el desarrollo central de las Técnicas de Optimización, a las que se las suele agrupar en dos grandes capítulos: los Métodos de Optimización y las Programaciones.

Dentro de los primeros quedan englobadas vías de solución de tipo genérico, donde se tiene una escasa consideración acerca de la naturaleza matemática del problema cuyo óptimo debe encontrarse, privilegiándose más los aspectos "operativos" con los que el método pretende arribar a la solución. Las segundas, en cambio, son de aplicación restringida a determinado tipo de problemas, caracterizados ya sea por su formulación matemática o bien por la estructura del flujo de información.

En la literatura se habla de una Programación no lineal que, sintéticamente, se refiere a un problema que puede formularse como sigue

que no es otra cosa que el planteo más general posible de un problema de optimización.

Para esta clase de programación la vía de ataque son los métodos de optimización; con lo que, según lo dicho más arriba, habría una cierta contradicción. Esto no es más que aparente, habida cuenta de que, por lo inespecífico de la formulación, se ha perdido la característica básica que distingue a las programaciones.

El objetivo común a todos los métodos de optimización es, en esencia, obtener, con el menor número posible de evaluaciones de la función objetivo, una representación adecuada de la misma que permita determinar la ubicación del punto óptimo.

De lo dicho resulta claro que toda la problemática de estos métodos está directamente relacionada con aspectos propios del cálculo numérico como eficiencia y comportamiento del algoritmo frente a problemas mal condicionados, ámbito de convergencia y velocidad de la misma, etcétera.

Existe una cuestión básica que obliga a dividir el tratamiento de los métodos de búsqueda en dos grandes grupos, cuestión que se deriva de lo esencial de la determinación numérica de un extremo: un punto se dice óptimo -en sentido local, en rigor- cuando la función objetivo evaluada allí resulta ser mejor que en el entorno inmediatamente próximo.

Puesto en términos simbólicos

x* óptimo si F(x*) mejor que F(x) ; x*, x ε En y │x* - x│ = δ

lo cual, para una función objetivo que dependa de una sola variable de decisión implica la comparación con solo dos puntos, x*+δ y x*-δ, pero para otra que dependa tan solo de dos debería efectuarse el cotejo con los infinitos puntos de la circunferencia de centro x* y radio δ. Lo primero es numéricamente posible pero lo segundo no y, por lo tanto, habrá una sustancial diferencia entre los métodos de búsqueda de óptimo de funciones de una y dos o más variables de decisión.

Otra gran división que a la que se suele hacer referencia es entre métodos orientados hacia problemas sin restricciones y aquellos que son capaces de abordar esquemas restringidos. Aquí no se hará mayor hincapié en este punto ya que, en realidad, en lo que a diseño óptimo se refiere, todos los casos reales poseen restricciones.

2. Métodos para problemas de una variable

En este apartado se abarca una temática que excede el exclusivo planteo de un problema de diseño con una única variable de decisión.

Un concepto más acabado del tipo de cuestiones que abordan estos métodos es el de búsqueda unidireccional que abarca tanto los problemas ya mencionados como la resolución de otros, de dos o más variables, en base a una estrategia basada en definir direcciones, según un determinado criterio, y sobre ellas buscar el óptimo de la función objetivo.

Uno de los enfoques clásicos en métodos de búsqueda unidireccional es el concepto de eliminación de regiones, por el cual se procede a excluir del análisis subsiguiente espacios de búsqueda donde, se dice, no puede encontrarse el óptimo.

Esta idea está estrechamente asociada a la noción de unimodalidad cuyo significado es que en el ámbito de búsqueda solo debe existir un óptimo de la naturaleza buscada.

Fig. 4.2.1

En la figura 4.2.1 la función es unimodal si se está buscando un máximo -existe uno solo, el punto c- pero no lo sería si se buscase mínimo, pues hay dos en la zona de soluciones admisibles, los puntos a y b, los extremos del intervalo. Nótese que la unimodalidad no se ve afectada por la discontinuidad -de la función y su derivada- que se presenta en el punto d.

Simbólicamente, se puede decir que una función es unimodal si

siendo x1 < x2 y x* el punto óptimo

f (x1) es peor que f(x2) si x2 < x* y

f (x1) es mejor que f(x2) si x1 > x*

Si una función es unimodal se puede asegurar, calculándola solo en dos puntos, en que zona no puede encontrarse el óptimo y, por consiguiente, como ya quedara dicho, eliminarla del análisis. En la figura 4.2.2 los valores de la función calculados en x1 y x2 permiten presuponer comportamientos como los indicados en líneas de puntos, con lo que la zona x2-b deja de ser de interés. Nótese que los valores de la función podrían haberse encontrado en una situación inversa a la presentada ( f1 < f2 ) y en tal caso la zona excluida sería a-x1.

Puede observarse que:

1.- Se requieren, como mínimo, dos evaluaciones de la función objetivo para poder desechar una región;

2.- La ubicación de los puntos de cálculo debe ser simétrica respecto del punto medio del intervalo para que el porcentaje de región eliminada sea independiente de valores relativos de las evaluaciones;

3.- Siempre queda uno de los puntos dentro de la zona no eliminada, mientras que el restante queda en uno de los límites de la misma.

Si bien el concepto de unimodalidad es muy simple de plantear y, como se verá, puede convertirse en una estrategia eficiente para la búsqueda de un óptimo, tiene un inconveniente básico y es que para asegurar su cumplimiento debería conocerse exactamente el comportamiento de la función objetivo, cuestión que, en la práctica, es imposible.

Más aún, sin este conocimiento, que es, se insiste, la situación normal, solo se está en condiciones de establecer cuando la función no es unimodal.

En la figura 4.2.3, por ejemplo, se ha representado una situación posible luego de un segundo paso en la estrategia de eliminación de regiones.

Otra vez se tienen dos puntos en el interior y ha quedado de la etapa anterior una evaluación sobre el borde de la zona, indicado como punto b.

Resulta claro que si lo que se busca es un máximo de la función objetivo ésta no es unimodal en ese sentido (habría sendos máximos a izquierda y derecha del punto x2').

Ahora bien, si no se detectase una situación de esta índole no habría que inferir, por ello, que la función es unimodal, pues solo podría ser una consecuencia de la particular ubicación de los puntos de análisis; aunque si se repitiese lo mismo una y otra vez habría fundamentos para estimar que la función se comporta como unimodal.

3. El método del número de oro

El método que se ha de analizar a continuación es uno de los más difundidos por la simplicidad de su programación y una notable eficiencia en el proceso de determinar el punto óptimo en una búsqueda unidireccional.

La idea básica se muestra en la figura 4.3.1. Allí se han ubicado, en una primera etapa, los dos puntos requeridos para lograr la eliminación de un cierto sector de la zona de búsqueda inicial, el entorno {a, b}, normalizado en {0, 1}.

En la figura se ha supuesto, además, que la zona eliminada es la ubicada entre x2 y b. De esta forma, el intervalo de búsqueda pasa a ser, ahora, {a' = a, b' = x2}. (Nótese que como ya quedó dicho, uno de los nuevos límites de la zona coincide con un punto de análisis).

En la estrategia que se plantea el método del número de oro el punto que permanece en el interior del nuevo intervalo está ubicado en la posición relativa en la que se encontraba el otro punto, que ahora limita la zona; esto es, el anterior x1 será el nuevo x2, indicado como x´2 en la figura.

Para ello deberá cumplirse que

Es a este número irracional al que el método debe su nombre, ya que en la Grecia clásica la cifra 1,6180339... era conocida como "relación áurea", íntimamente ligada a la secta pitagórica -en su emblema, una estrella regular de cinco puntas, todas sus líneas están divididas según esa proporción-. Tiene propiedades geométricas singulares , por lo que no es de extrañar que los griegos, tan racionales, le atribuyesen cualidades inasibles como la belleza y utilizaran la relación áurea al erigir los espléndidos

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