PROBABILIDADES TRABAJO COL 1

EJERCICIO N° 1

Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la función f (x)=k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X. Determine además P (1 =< X =< 3).

DESARROLLO

F(x) ha de sumar 1

k + k/2 + k/3 + k/4 = 1

K (1+1/2+1/3+1/4) = 1

K*25/12 = 1

k=12/25

f(x)=12/(25x)

P (1<=X<=3) = f(1) + f(2) + f(3) = 12/(25*1) + 12/(25*2) + 12/(25*3) = 12/25 + 12/50 + 12/75 = 22/25 = 0.88

EJERCICIO N° 2

Suponga que f (x) = 0,25, para 0 < X < 4. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria continua X.

DESARROLLO

Media= integral de 0 a 4 de xf(x) = 0.25x

E(x)= 0.25*x^2/2 (x=0,4) --> 0.25*4^2/2 - 0.25*0^/2 = 2

Varianza = E(X^2) - E(X)^2

E(X^2) = integral de 0 a 4 de x^2*f(x) = 0.25x^2

E(x^2)= 0.25*x^3/3 (x=0,4) --> 0.25*4^3/3 - 0.25*0^/3 = 5.33333

Varianza = E(X^2) - E(X)^2 = 5.3333 - 2^2 = 1.33333

EJERCICIO N° 3

Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado?

DESARROLLO

Es un caso de distribución binominal

n=7

p=0.25

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=x) = C(7,x) * 0.25^x * 0.75^(7-x)

P(X>=3) = 1- P(X<=2) = 1- P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)

P(X=0) = C(7,0) * 0.25^0 * 0.75^(7-0) = 0.1335

P(X=1) = C(7,1) * 0.25^1 * 0.75^(7-1) = 0.3115

P(X=2) = C(7,2) * 0.25^2 * 0.75^(7-2) = 0.3115

P(X>=3) = 1 - 0.1335 - 0.3115 - 0.3115 = 0.2435

EJERCICIO N° 4

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes /hora Calcule la probabilidad de que a) en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes;

b) en cualquier hora dada llegue más de uno.

DESARROLLO

Aquí también aplicaremos la distribución de Poisson.

Si en una hora el promedio de clientes que llegan la exhibición es de 6,8, el promedio de clientes en media hora será 6,8/2 = 3,4 clientes = λ

a)

Definamos a la variable aleatoria x : “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en media hora"

P (x=ó>2) = 1 - P (x=ó<1) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)]

P (x) = λ^x * e^-λ / x!

P (x=0) = 3,4^0 * e^-3,4 / 0! = 1 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,1353

P (x=1) = 3,4^1 * e^-3,4 / 1! = 3,4 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,4601

P (x=ó>2) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)] = 1 - (0,1353 + 0,4601) = 1 - 0,5954 = 0,4045 = 40,45%

b)

λ = 6,8

P (en cualquier hora dada llegue más de uno) = P (en cualquier hora dada por lo menos lleguen dos clientes)

Definamos a la variable aleatoria x : “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en una hora"

P (x=ó>2) = 1 - P (x=ó<1) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)]

P (x) = λ^x * e^-λ / x!

P (x=0) = 6,8^0 * e^-6,8 / 0! = 1 * 0,0011137751478448030787892198392705 / 1 = 0,0011

P (x=1) = 6,8^1 * e^-6,8 / 1! = 6,8 * 0,0011137751478448030787892198392705 / 1 = 0,0075

P (x=ó>2) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)] = 1 - (0,0011 + 0,0075) = 1 - 0,0086 = 0,9913 = 99,13%.

EJERCICIO N° 5

Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente distribuida, la temperatura media es de 37ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se consideran 1000 de

...