Potenciación

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Fundación Misión Sucre

Coordinación del Estado Sucre

Cumanacoa- Estado Sucre

MARZO 2014.

POTENCIACIÓN EN Z.

Una potencia enésima de un número a, es multiplicado por si mismo n veces. Es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

a= base.

n= exponente.

an = potencia enésima de a.

Ejemplo

1) 2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN EN Z.

Potencias de exponente cero

a0 = 1

60 = 1

Potencias de exponente uno

a1 = a

61 = 6

Signo

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(−2)6 = 64

Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

(_5) 2 = _5 • _5 = +25 = 25

(_2) 8 = _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 = +256 = 256

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

am • a n = am+n

75 • 72 = 75+2 = 77

División de potencias con la misma base

am : a n = am - n

75 : 72 = 75 - 2 = 73

Potencia de un potencia

(am)n=am • n

(75)3 = 715

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

an • b n = (a • b) n

23 • 43 = 83

División de potencias con el mismo exponente

an : b n = (a : b) n

63 : 33 = 23

Potencia en Q

Son números de la forma an donde “a” es una fracción n es un entero

• A se llama base

• N se llama exponente

El exponente indica cuantas veces se debe multiplicar la base

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).

Potencias de números racionales

Potencias de exponente positivo

Como sabes una potencia de exponente natural expresa el producto de un número (la base) consigo mismo tantas veces como indica el exponente. Por ejemplo:

35 = 3•3•3•3•3 = 243 (-3)5 = (-3)•(-3)•(-3)•(-3)•(-3) = -243

► Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.

Igual que ocurre con los números enteros, al calcular potencias de fracciones negativas hay que tener en cuenta si el exponente es par o impar:

• Si el exponente es par la potencia es positiva:

• Si el exponente es impar la potencia es negativa:

Con las potencias de base fraccionaria y exponente natural se cumplen las mismas propiedades que con las de base entera.

Potencias con exponente negativo

En las potencias estudiadas hasta ahora, el exponente era siempre un número natural. Vamos a extender, ahora, el estudio de las potencias, al caso en que el exponente de éstas sea un número entero negativo. Así tienen significado claro para nosotros las expresiones tales como:

Si la ley de los exponentes para la división se extiende para incluir casos en que el exponente del denominador es mayor, aparecen exponentes negativos. Entonces,

Otra forma de expresar este problema es esta:

Por consiguiente,

Deducimos que un número N con un exponente negativo equivale a una fracción que tiene la firma siguiente: Su numerador es 1; su denominador es N con un exponente positivo cuyo valor absoluto es el mismo que el valor absoluto del exponente original. En símbolos, esta regla puede establecerse de la manera que sigue:

Los ejemplos que ofrecemos a continuación ayudan a ilustrar la regla:

Note que el signo de un exponente puede cambiarse moviendo simplemente la expresión que contiene el exponente a la otra posición en la fracción. El signo del exponente cambia cuando se realiza este movimiento. Por ejemplo,

Usando las relaciones anteriores, un problema tal como 3/5-4 puede simplificarse como sigue:

Como la definición de potencia con exponente natural, no es aceptable en el caso en que el exponente sea negativo, pues no tiene sentido hablar de un producto de un número negativo de factores, daremos una nueva definición. Por razones que después veremos, los Matemáticos han preferido la siguiente:

DEFINICIÓN. Toda potencia con exponente negativo de un número racional distinto de cero, significa el cociente del número uno por una potencia de la misma base, con exponente positivo y de igual valor absoluto que el de la dada.

Propiedades de la Potencia en Q

PROPIEDADES

Producto de potencias

de la misma base Cociente de potencias

de la misma base Potencia de una potencia

Es otra potencia de igual base y exponente la suma de los exponentes Es otra potencia de igual base y de exponente la resta de los exponentes Se escribe la misma base y se multiplican los exponentes.

Las propiedades de la potenciación son las mismas para todos los números Reales:

Algunos ejemplos:

(½)³ * (½)² = (½)^5 → se suman los exponentes en el producto de bases iguales

(¼)³ : (¼)² = (¼)^1 → se restan los exponentes en el cociente de bases iguales

((¾)³)² = (¾)^6 → poetencia de otra potencia se multiplican los exponentes

(⅜)^-2 = (8/3)² → potencias negativas invierten la base

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