Principio De Incertidumbre

El principio de Incertidumbre de Heisenberg

El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.

• Es natural pensar que si una partícula esta localizada, debemos poder

asociar con ésta un paquete de ondas mas o menos bien localizado.

Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número

infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias.

En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete

de ondas esta dado por

donde k representa el número de onda

y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número

de ondas) que varian desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor

g(k).

El momento de la partícula y el número de ondas estan relacionados

ya que

de lo cual se deduce que

• Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas

las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varia entre cero e

infinito y por lo tanto el momento tambien varia entre

cero e infinito. Es decir que esta completamente indeterminado.

• Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes

tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice

como estan distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas

k dentro del paquete.

• En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el

espacio x, tiene contribuciones practicamente iguales de todas las ondas

con número de ondas k.

• En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.

• En el último caso vemos que para definir bien el momento de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.

• Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal como en el espacio de momentos .

El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en

la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la

posición y el momento de una partícula.

• La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es

• Si queremos determinar con total precisión la posición:

• De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos

entonces que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.

Medición e Incertidumbre

Supongamos que se desea medir la posición y el momentum de algún

objeto microscópico en un cierto instante de tiempo.

Digamos que se quiere determinar la posición y el momento de un

electrón. Para esto tendríamos que interactuar con el electrón,

por ejemplo con luz de una longitud de onda . En este proceso

los fotones luminosos golpean al electrón y salen despedidos. Cada

fotón posee un momento que al entrar en contacto con el

electrón hacen que dicho electrón sufra una variación en su momento.

La variación de este cambio no se puede predecir con exactitud, pero es

del mismo orden que el momento del fotón. De este modo el proceso

de la medición introduce una incertidumbre de

mientras que la incertidumbre en la medición de la posición

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